Выпрямление синусоидальных токов

1. Основные соотношения для синусоидального тока

в энергетике почти исключительно применяется трехфазный переменный ток промышленной, частоты. Переменным током называется такой ток, значения которого и направление периодически изменяются во времени в одной и той же последовательности через равные промежутки времени.

Наиболее благоприятны, как это показано в § 5, во всех отношениях изменения тока по синусоидальному закону. Такой ток называется синусоидальным или гармоничным. На рис. 1 в правой части показан график i=f(t) синусоидального тока в прямоугольных координатах, где по горизонтальной оси (ось абсцисс) - отложено время t, а по вертикальной оси (ось ординат) — мгновенные значения тока i. Таков же график изменения напряжения м =/(t). Время, затрачиваемое на один цикл изменения тока от начала положительной полуволны синусоиды до конца отрицательной, называется периодом Г и является одним из основных параметров переменного тока. Частота, с которой чередуются периоды, так и называется частотой переменного тока.

Принято определять частоту, как число, периодов за одну секунду. Эта единица частоты 1/с называется герц (Гц). Частота промышленного тока стандартизирована и равна 50 Гц, т. е. 50 периодов в секунду, чему соответствует длительность периода

Надо знать, что двигатели, рассчитанные на частоту 60 Гц, непригодны для сети с частотой .50 Гц и наоборот.

Рис. 1. график, изменения mora по синусоидальному закону.

Наибольшее мгновенное значение тока (напряжения) называется максимальным или амплитудным и обозначается прописными буквами с индексом «м», например 1м, Um и т. д. Для синусоиды максимальное положительное значение имеет место Г

через время t = — и максимальное отрицательное — через t =

ЗГ

— Нулевые значения синусоиды имеют место при изменении направления (при переходе через горизонтальную ось сину-

Т

соиды) для времени t = О, * = у» t = T. Для любого момента

времени t мгновенное значение тока (напряжения), обозначенное строчными буквами i, и. может быть найдено по закону изменения синусоидальной функции.

На рис. 1 в левой части изображен тригонометрический круг с радиусом-вектором OA, равным максимальному значению амплитуды синусоиды. Полный оборот радиуса-вектора OA соответствует одному периоду синусоиды, поэтому период может измеряться также и в радианах (или градусах) и равен 2п (т. е. 360°). Так как синусоидальный процесс периодический и для него справедливо равенство

i=f{t)^f{t + T)=f{t + 2T) = ...=fit + kn (2)

где к — любое целое число следований периодов, то мы должны

себе представить, что радиус-вектор вращается с равнол^рной

угловой скоростью (в направлении против часовой стрелки),

„ 2п . рад „ „ „ .

равной -= сй-, называемой угловой частотой.

Очевидно, что за время t радиус-вектор поворачивается на

yj-o^ ^ f = tor рад, причем, учитывая формулу (1), угол можно

выражать и так: (£>t = 2nft, что дает право откладывать по оси абсцисс графика синусоиды кроме времени t угловой поворот радиуса-вектора в радианах cor, как показано на рис. 1. Учитывая выражение (2), всегда можно рассматривать положение радиуса-вектора за один период. Пользуясь тригонометрическим кругом, можно сказать, что мгновенное значение тока (напряжения) в любой момент времени пропорционально синусу угла поворота радиуса-вектора, соответствующему данному моменту времени. Например, для момента t

АВ

sincut'=—- и 1 = АВ. АО

. Если начало координат (начало отсчета) соответствует началу синусоиды (переход через нулевое значение в положительном направлении), то мгновенное значение тока (напряжения) можно выразить через синусоидальную функцию

i = /м81п cot

(3)

или для напряжения м= 17м8ш cot,

где /„ и [/„ — максимальные (амплитудные) значения тока и напряжения (равные радиусу-вектору OA на рис. 1).

Если начало координат выбрать произвольно, например в точке О', то, как явствует из рис. 1, то же мгновенное значение тока (напряжения) будет выражаться иначе:

i = /м sin (cot + v}/) или м = t/м sin (cot + х];), (За)

где аргумент синуса m + <\f определяет фазу изменения тока (напряжения), т. е. фа'зный угол относительно принятого начала отсчета. Для момента времени t = О угол х]; определяет начальную фазу тока (напряжения). Этот угол лежит в квадранте / тригонометрического круга (рис. 1) и, следовательно, положителен.

Если взаимно рассматриваются две величины, изменяющиеся по синусоидальному закону с одной и той же частотой, например в одной цепи ток с начальной фазой xj/j и напряжение с начальной фазой то разность начальных фаз этих синусоидальных величин определяет уголсдвигафаз, в данном случае между током и напряжением -(рис. 2), т. е. x^i - х^г = Ф-

Рис. 2. Угол сдвига фаз ф синусоидальных еепичин с одинаковым периодом Т, = Tj.

Опережающей синусоидой считается та, у которой амплитуда раньше достигает максимального значения (синусоиды изменяются в одном направлении). Следовательно, на рис. 2 опережающей является синусоида i. Если ^i=\\i2,.r. е. ф=0, то обе синусоидальные величины (например, ток и напряжение) .совпадают по фазе. Если же ф = v}/j — xj/j = и, синусоидальные величины находятся в противофазе (сдвиг по фазе 180°). Обычно начало координат двух синусоидальных величин выбирают так, чтобы xl/j =0 либо vj/j =0.

Итак, переменный ток характеризуется тремя величинами: частотой (или периодом), амплитудой и начальной фазой.

При расчетах электрических цепей, при измерениях в электрических установках обычно пользуются действующими значениями тока (напряжения), называемыми также среднеквадратичными значениями (обозначаются прописными буквами без индекса: J, [/ и т. д.).

Действующее значение переменного тока определяют, исходя из одного и того же количества тепла, выделяемого по закону Джоуля — Ленца в одном и том же сопротивлении. г за одно и то же время, например за период Тпри прохождении постоянного или переменного тока.

При прохождении переменного тока за предельно малый промежуток времени Af на сопротивлении г мощность, определяющая количество тепла,

АР = frAt,

где 1 — мгновенное значение синусоидального тока, определяемое по (3).

Для определения количества тепла, выделившегося за пе-Г необходимо АР для всех мгновенных значений тока в пределах от О до Т просуммировать:

о

Если то же количество тепла, пропорциональное мощности Р, выделяется на том же сопротивлении г за время Т при прохождении постоянного тока /, то

Приравнивая правые части выражений '^frAt = lhT, опре-

0

деляем действующее значение переменного тока / за период, по условию равное значению постоянного тока /, из выражения

(4)

. , 1 cos2(of Из- тригонометрии известно, что sm'' rot = у — ^ при-

cos2«)f „ „

чем-^ . = 0. Значит, при суммировании подкоренной величины правой части формулы (4) будем иметь: т - .

о

Откуда следует^ что сумма всех промежутков времени Лг за полпериода равна полупериоду. Тогда из выражения (4) будем иметь: .

ьО,707/^

и аналогично для напряжения U и э.д.с. Е [7 = i^ и £=-^"

j/2 ]/~2'

(5)

Заметим, что действующее значение тот (напряжения, э.д.с.) не зависит от фазы.

Отношение амплитудного (максимального) значения синусоидальной функции к действующему значению называется коэффициентом амплитуды. Например, для синусоидального напряжения коэффициент амплитуды равен:

/са = -^ = 1/2 =1,41. (6)

Мы суммировали ординаты через малые, но конечные интервалы времени At, т. е. дискретно (прерывисто, ступенями). Более строгое нахождение действующего значения синусоидальной величины производится путем замены дискретного суммирования интегрированием. Если принять изменения во времени бесконечно малыми, обозначаемыми dt, и произвести суммирование всех ординат синусоиды, возводимых в квадрат для каждого момента, то выражение (4) примет вид: т

I^rT=r^ll sin^ atdt. о

Знак интегрирования обозначает непрерывное суммирование всех ординат, вершины которых непрерывно перемещаются по синусоиде в пределах от начала периода Г= О до конца периода Т.

Из последнего выражения следует, что

с ■ ■> 1. 'м

так как в математике доказывается, что г ^

о 2

Среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю. Это объясняется тем, что количество электричества, прошедшее в одном направлении и пропорциональное площади положительной полуволны синусоиды, равно количеству электричества, прошедшему в обратном направлении за отрицательную полуволну и пропорциональному площади отрицательной полуволны синусоиды (площадь положительной полуволны синусоиды равна площади отрицательной полуволны).

Поэтому среднее значение синусоидальной величины определяют за полупериод, причем всегда полагают начальную фазу синусоиды равной нулю (i)/ = 0). Этому условию (vj/ = 0) соответствует максимальное среднеезначение, которое равно среднеарифметическому всех ординат за полупериод

и определяется как высота прямоугольника с основанием, равным полупериоду синусоиды, и с плошадью, равной площади полуволны синусоиды (рис. 3,о).

В математике доказывается, что площадь S полуволны синусоиды с амплитудным значением и периодом Г равна:

Тогда среднее значение за полупериод определится как

Аср = -

к

= 0,637Л

Следовательно, средние значения тока, напряжения, э.д.с. соответственно равны:

/ср = —/м = 0,637/м; п

[/ср = —С/м = 0,6371/„; п

2

Еср = — Ем = 0,637£м.

(8)

В общем случае, когда начальная фаза синусоиды не равна нулю (За), среднеарифметическое значение ординат за полупе- ■ риод определится из следующих соображений. Из тригонометрии известно, что

sin (ш + ^) = sin o)t cos v|/ -I- cos cot sin v|/. (8a)

Так как cosv|/ и sin - постоянные величины, то при суммировании ординат за полупериод первого члена правой части выражения (8а) получим среднее значение за полупериод согласно (7):

S'=—-cosvl/. ' ■ (7а)

я

При суммировании второго члена получим cos mt sin \|/ = О, так как алгебраическая сумма ординат косинусоиды за полупериод равна нулю. Таким образом, среднее значение ординат синусоиды за полу период будет равно:

Af^Tcos \|/ Г 2А^,

cos\l/.

SI

J

+

BZ

_D,637Im hp- 2

T

z

в)

о—

В

Puc. 3. Средние значения синусоидального тока.

В, В1, В2 — электрические вентили (выпрямители); Rh - сопротивление нагрузки: А—амлерметр постоянного тока; U.^ и U_ — лоложительная и отрицательная, волны синусоидального напряжения.

Следовательно, в общем случае средние значения за полупериод (рис. 3,6) тока и аналогично напряжения и э.д.с. равны:

/ср = COS 1^ ;

[7cp = -^cosv|/; ^ ... - (9)

£ср =-cosv|/.

Отсюда следует важный вьшод, что среднее значение за полупериод тока (напряжения) с начальной фазой v|/ пропорционально косинусу фазового угла. Так, например, если = 90° (рис. 3,в), то cos ф = О и /ср = 0.

При интегрировании среднее значение синусоидальной величины за полупериод определяется выражением

I Т/2 2А

Аср = ^ j AMsin(wt + ^)dt = —^cosv|/.

Применение выпрямителей для преобразования переменного тока в постоянный вызвало понятие среднего значения тока по модулю (т. е. без учета знака ординаты) за период. При двухполупериодном выпрямлении среднее значение по модулю определяется как среднеарифметическое значение всех ординат обеих полуволн за целый период без учета их знаков (т. е. полагая все ординаты за период положительными, что и имеет место при двухполупериодном идеальном выпрямлении, рис. 3,г). Так как среднее значение синусоиды за каждый полупериод (одной полуволны) равно

—то (рис. 3,г) за период среднее значение по модулю

равно:

2Аи 2Ам

Мср|= " ^ " (10)

т. е. равно среднему. значению синусоиды за полупериод.

При однополупериодном выпрямлении (рис. 3,д) среднее значение по модулю за период равно:

2Лм

|Л^р|=-4- = ^. ■ . (11)

Отметим, что среднее значение синусоиды по модулю (сред-невыпрямленное значение) не зависит от начальной фазы синусоиды (как для двухполупериодного, так и для однополупе-риодного выпрямления). Это объясняется тем, что при любом отсчете начала периода синусоиды площади положительных полуволн всегда равны площадям отрицательных полуволн.

Коэффициент среднего (максимального) значения синусоидальной величины, например, для тока равен отношению среднего значения за полупериод к максимальному, т. е.

/сср = ^ = - = 0,637. (12)

I Аналогичное значение коэффициент среднего значения имеет для напряжения и э.д.с.

Коэффициент формы, являющийся характерной величиной для периодического тока, равен отношению действующего значения к среднему. Для синусоидальных величин коэффициент формы, например, для тока равен:

;сф = -1- = ^-^ = -4=.= 1,11. (13)

/ср .]/2 2/м 2]/2

Аналогичное значение коэффициент формы имеет для напряжения и э.д.с.

НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ

2. Представление несинусоидальных токов в виде тригонометрического ряда синусоидальных составляюи1их (гармоник) тока

в реальных условиях выработки, преобразования, распределения и потребления электроэнергии возникают искажения формы синусоидального тока (напряжения). Эти искажения возникают при генерации электроэнергии, передаче электроэнергии по сетям и, главным образом, при потреблении, связанном в основном с преобразованием переменного тока в постоянный. Главной причиной возникновения искажений являются нелинейные элементы в системе электропередачи и потребления. Несинусоидальные токи являются периодиче-

скими, если для них удовлетворяется равенство (2). Это имеет место всегда при существующих федствах генерации, трансформации и передачи электроэнергии.

В математике доказывается (теорема Фурье), что любая несинусоидальная периодически изменяющаяся величина в общем случае представляет сумму постоянной величины (не изменяющейся во времени) и бесконечного ряда синусоидальных величин с кратными частотами. Эти синусоидальные составляющие называются гармоническими составляющими или гармониками.

Синусоидальная составляющая, период которой равен периоду несинусоидальной периодической величины, называется основной или первой гармоникой. Остальные составляющие синусоиды с частотами, в 2, 3, 4 и т. д. раз большими, называются высшими гармониками, например 2-я гармоника, 3-я гармоника и т. д. Таким образом, если для основной частоты угловая частота равна со, то для 2-й гармоники она будет 2о), для 3-й Зо) и т. д.

В энергетике обычно ограничиваются рассмотрением гармоник не выше 13-й, чему соответствует 50-13 = 650 Гц.

В любой момент времени мгновенное значение несинусоидальной кривой (или, как говорят, сложной кривой) согласно принципу наложения' равно алгебраической сумме мгновенных значений ординат всех составляющих за данный момент. В виде примера на рис, 4 черной линией изображена сложна^ периодическая кривая i с периодом Т, содержащая постоянную составляющую (желтая линия), основную I'l (красная линия) и высшие гармонические, как четную 2-ю ij (зеленая линия), так и нечетную 3-ю ij (синяя линия). Кривая i удовлетворяет условию периодичности (2), так как f(x)=f(x + 2n).

Согласно теореме Фурье мгновенное значение величины а любой периодической кривой сложной формы может быть представлено следующим тригонометрическим рядом:

a=f{wt) = AQ + A^sin((i}t + ^i) +

-1-^2 sin(2rat-)-vl/2)-1-^3sin(Зо)Г-1-1|/з)-1- •-• (^^^

или, полагая ш = х,

/(х) = Ао + А^ sin (х + v|/i) + А2 sin (2х -f- ^2) +

+ ^3sin(3x-l-v|/3)-f (14а)

^ Принцип наложения заключается в том, что ток в какой-либо электрической цепи, подчиняющейся закону Ома, равен алгебраической сумме частичных токов, создаваемых в этой ветви всеми по очереди действующими э.д.с.

Puc. 4. Несииусоидапьная периодическая кривая, содержащая постоянную составляющую, четную и нечетную гармоники.

Т—период, равный 1к; х и х+ 71 —фазы, которым соответствуют мгновенные значения —i^^: — х]/!, + \1/2 и + \1/з — начальные фазы отстающей 1-й и опережающих 2-й и 3-й гармоник соответственно.

где Aq - постоянная составляющая; Ai, А2, A3 - максимальные значения первой, второй, третьей и т. д. гармоник; v|/i, v|/2, 1I/3 ... — начальные фазы гармоник.

Для практических расчетов формулу (14) можно упростить, т. е. привести к виду, в котором начальные фазы гармоник равны нулю. При этом в расчетной формуле появляются косинусоиды, что, однако, не противоречит теореме Фурье. Упрощение выражения (14) основано на тригонометрической формуле sin (а -I- Р) = sin а cos р + cos а sin р, согласно которой для любой, например к-й, гармоники ряда (14) можно написать:

А,^ sin (кх + ^1^) — Af^ sin кх cos v|/;j -I- A^ cos kx sin v|^^.

или

A^ sin (fcx -f = A\, sin kx Л- A'i cos kx, где

/4^ = A,^ cos v|/fc и Al = A,^ sin 1]/^.

(15)

(16)

Подставляя формулу (15) в (14a), получаем тригонометрический ряд разложения в виде суммы синусов (синусный ряд)

и косинусов (косинусный ряд) гармонических составляющих с начальными фазами, равными нулю, т. е.

/ (х) = /4о + А1 sin x + A'l cos х + А2 sin 2х +

+ ^2 cos 2х + ^3 sin Зх + ^3 cos Зх + ... (17)

Амплитуда гармоник, например к-й, определяется по выражению

А,=\/(А^?+(Л1Г, -(18)

а начальные фазы гармоник найдутся по (16):

А': sinvl/t ■ ■ ____

tgvl/*=-p- =-j^.- • (19)

А^^ cos v|/j

Приведенные выражения (17) — (19) применяются при графоаналитических анализах несинусоидальных кривых тока (напряжения), полученных на осциллограммах, и дают возможность определить амплитуду и фазовый сдвиг каждой гармоники. Применение графоаналитического анализа несинусоидальной кривой рассмотрено на примере в § 12.

3. Типичные несинусоидольные кривые

Рассмотрим некоторые типичные периодические кривые, которые по своей форме дают возможность судить о составе гармоник.

Кривые, симметричные относительно оси времени. Рассматривая кривые на рис. 5, видим, что для них удовлетворяется условие

/(х)= -/(х + я), (20)

так как если сдвинуть отрицательную полуволну кривой влево на угол я, то отрицательная полуволна будет зеркальным изображением положительной полуволны. Такие кривые называются симметричными относительно-оси времени - горизонтальной оси ш. Условие (20) можно представить как

/М+/(х + я) = 0. " (20а)

А так как из (14а) ^

/(х + я) = -t- ^1 sin [(х -t- я) + -f

+ ^2sin[2(x + я)-|-vl^2]-f ^з8т[3(х-(-я) + \1/з]-(- ... =

Puc. 5. Несинусоидальные кривые токо, симметричные относительно оси времени.

d —с мочальными фазами гармоник, равными нулю или л, ( = 30sin(ot + + 10 sin (Зол — il/j) = 30sin ол + lOsin (Зш1 — п); 6 —с начальными фазами, не равными нулю, / = 30sin((0t + + 10sin(3(t)t — фз) = 30sin (cot + 27") + lOsin X X (3(i)t —9°); Г— период, равный 2п; х и х+ п —фазы, которым соответствуют мгновенные значения ij, и —i^; + ф, и — ф^ — начальные фазы 1-й и 3-й гармоник; а —угол сдвига фаз между 1-й и 3-й гармониками.

= у4(, — /li sin (х + -f А2 sin (2x -f ^j) —

-X3sin(3x-t-v|/3)*-l- (21)

TO, подставляя (14a) и (21) в (20a), получаем:

Ад + Ai sin (x + v)/,) + A2 sin (2x -t- х];^) + -f-X3sin(3x + v|/3)-f ... + Ao-Ai sin {x + \ifi) + + A2 sin (2x -t- ^2) - ^3 sin(3x + vl/3) + ... = 0

и, следовательно,

2Xo + 2^2sin(2x + \|,2) + 2>l4(4x + \l/4)+ ■••=0, .

T. e. Ao = 0; ^2=0; ^4=0 и т, д.

Иными словами, кривая, симметричная относительно горизонтальной оси, не содержит постоянной сосгпавляющей Aq

* Ai sin [(х -f п) -f = - Л, sin (x

и четных гармоник А2 и и может быть представлена следующим рядом:

/(x) = ^isin(x + v|/,) + X3 sin(3x + v|/3) + >l5 sin(5x + vl/j) + ...,

(22)

или

/(x) = л; sin X + A'i cos X + ^3 sin 3x + >1з cos 3x + ... (23)

Кривые, симметричные относи^гельно начала координат. Для крив011 на рис. 6 справедливо условие

/(-х)=-/(х) . (24)

или

/М+/(-х) = 0. (24а)

Такие кривые называются симметричными относительно начала координат.

Заменим в выражении (17) х на — х, тогда

■/(- х) = Ао + А\ sin(- х) + А'[ cos(- х) + А'^ sin(- 2х) +

+ /4'icos(- 2х) + X'3sin(- Зх) + X'^cos(- Зх) + ...(25)

Подставляя выражения (17) и (25) в (24а) и учитывая, что при изменении знака аргумента у синуса изменяется знак, а. у косинуса не изменяется, получаем:

Ао + А[ sin X + А'[ cos х + А^ sin 2х -f- А'2 cos 2х -t--)- ^з'sin Зх + ^3 cos Зх + ... + Aq — А[ sin х + A'l cos х -' — А'2 sin 2х + A'i cos 2 X — Л 3 sin Зх + ^'з cos Зх + ... = О

и, следовательно,

2Ао + 2А'[ cos X + 2А'2 cos 2х -1- 2/1з cos Зх + ... = О,

а это может быть только когда А=0; А'[=0; /1^'=0 и т. д.

Это значит, что кривая, симметричная относительно начала, координат, не содержит постоянной составляющей и косинусоид и может быть представлена рядом

/(x) = ylj'sinx-t-X2'sin2x +^3sin3x+ (26)

откуда видно, что для всех составляющих гармоник начальные фазы равны нулю (или сдвинуты на я).

Частным случаем кривых, симметричных относительно начала координат, являются кривые типа изображенных на рис. 5.

Рис. 6. Несииусоидапьная кривая тока, симметричная относительно начала координат, с начальными фазами гармоник, равными нулю: i = 30sintot + 10sin2cot.

Г—период, —X и X —фазы, которым соответствуют мгновенные значения

и — L.

Здесь кривая симметрична как относительно горизонтальной оси, так и относительно начала координат (за которое можно принять точку О', рис. 5, а). Для этого случая кривая согласно (23) и (26) будет раскладываться в ряд

/(х) = ^1 sin X + Аз sin Зх + ^5 sin Зх^ + ..., " (27)

т. е. не будет содержать четных гармоник.

Кривые, симметричные относительно вертикальной оси. Кривая, показанная на рис. 7, удовлетворяет условию

/(-х)=/(х) . (28)

или

/(х)-/(-х) = 0.

(28а)

Такие кривые называются симметричными относительно вертикальной оси (ординат). Для них кривая, лежащая левее* вертикальной оси, является зеркальным отражением кривой, лежащей правее вертикальной оси, проходящей через амплитуду.

Подставляя в (28а) выражения (17) и (25), получаем:

Aq + Xj'.sin X -t- cos X -I- A2 sin 2x -I- A2 cos 2x +

Рис. 7. Несинусоидапьиая кривая тока, симметричная относительно еертикапьной оси, проходящей через амплитуду, / = 30sin (cot + фч)+ +10 siп {2cot-фг)=30 siп (cot+18°)+10 si п (2cot- 54°).

Т—период; —х и х — фазы, которым соответствуют мгновенные значения i,,; + и — ф2 — начальные фазы 1-й и 2-й гармоник соответственно; а — угол сдвига фаз между 1-й и 2-й гармониками.

-f-Лз sin Зх-f-Лз COS Зх-f- ... - + Л/sin х - cosx-f- . + А2 sin 2х — Л2 cos 2х + Лз.sin Зх — Л3 cos Зх Ч- ... = О и, следовательно,

и, следовательно, 2Л; sin x -f- 2Л2 sin 2х -f- 2Лз sin Зх т. е. Л; = 0: А:=0: Л'=0 и

+ ... = о.

т. е. Л/ = О; Л2' == О; Л^ = О и т. д.

Таким образом, кривая, симметричная относительно вертикальной оси, не содержит составляющих синусоид и может быть представлена рядом

/(х) = Ло +Л;'cosx-f Л^'со8 2х-ЬЛ'^со8 3х-Ь ... (29)

Здесь имеется в виду, что вертикальная ось проведена симметрично относительно любой полуволны и тогда все амплитуды будут либо совпадать по фазе, как на левой полуволне — вертикальная ось у, либо будут в противофазе, как на правой полуволне — вертикальная ось у'.

Если принять за начало координат точку О" (в которой кривая проходит нулевое значение и принимает положительные значения), то кривая может быть разложена в нормальный ряд по выражениям (Ма) или (17).

Выводы. 1. Кривые, симметричные относительно горизонтальной оси (риС; 5), содержат только нечетные гармоники.

2. Кривые, симметричные относительно начала координат (рис. 6), содержат четные и нечетные гармоники, для которых начальные фазы равны нулю или сдвинуты на я.

3. Кривые, симметричные относительно горизонтальной оси и относительно начала координат (рис. 5), содержат только нечетные гармоники, для которых начальные фазы равны нулю или сдвинуты на п.

4. Кривые, симметричные относительно вертикальной оси, проходящей через положительную или отрицательную амплитуду кривой (рис. 7), могут в общем случае содержать постоянную составляющую, четные и нечетные гармоники, причем амплитуды всех гармоник находятся в фазе (или противофазе).

Как будет- показано ниже, несинусоидальные токи, возникающие при генерации, трансформации и распределении электроэнергии, не содержат постоянной составляющей. Поэтому свойства рассмотренных несинусоидальных кривых будут использованы при рассмотрении вопросов возникновения гармоник в системе электропередачи. При потреблении электроэнергии возможно возникновение постоянной составляющей во вторичных цепях трансформаторов.

4. Основные соотношения для несинусоидального тока

Действующее значение периодического тока сложной формы

определяется так же, как и для синусоидального тока по выражению (4), где несинусоидальный ток выражается тригонометрическим рядом (14).

Рассмотрим сначала частный случай, когда несинусоидальный ток содержит только две синусоидальные составляющие, например 1-ю гармонику /„,1 sin cot и 3-ю /^,3 sin (3cot + + ^з). Тогда из выражения (4) найдем:

[^м,1 sin cot + /м,з sin (3cot + vl/j)]^ Af =

у [Ji,, sin^ cof + 2/„,, sin cot/„, 3 sin (3cot + vl/j) -(-

-ьЯ„,з(ЗсоГ+ vl/3)]Af.

Как было показано в формуле (4), квадраты синусов равны Tj2. Средний член подкоренного выражения представляет собой произведение двух синусоид, у которых аргументы отличаются по угловой частоте. В нашем случае радиус-вектор 3-й гармоники /м_з вращается в 3 раза быстрее радиуса-вектора 1-й гармоники Можно представить, что радиус-вектор /м_1 неподвижен, а радиус-вектор /„_з вращается относительно него со скоростью 3 оборота за время Т. Тогда за каждые 1/2 оборота радиус-вектор /„ з будет по отношению к неподвижному радиус-вектору изменять свой знак на обратный и за каждый период 3-й гармоники произведение радиус-векторов Jm.iAi.3 1 раз будет положительным и 1 раз отрицательным и, следовательно, за период 2/„ j sin cot/„ з sin (3cot-f-\1/з) = 0.

Действующее значение несинусоидального тока в нашем случае будет:

/ =

так как —^ = / [см. формулу (5)]. 1/2

Теперь от частного случая перейдем к общему и в выражении (4) за знак суммирования поставим выражения несинусоидального тока в виде тригонометрического ряда (14). При возведении в квадрат этого ряда обязательно появятся члены, содержащие квадраты синусов всех составляющих гармоник и удвоенные произведения синусов с разной угловой частотой во всех возможных сочетаниях.

Как мы видели на частном примере, квадраты синусов независимо от частоты равны Т/2, где Т— период несинусоидальной кривой, а произведение синусов различных гармоник равны нулю. Произведение постоянной составляющей 1^ на синус с любым аргументом по тем же причинам также будет равно нулю. Тогда, вынося за скобки 7/2 и сокращая его, мы получаем выражение действующего тока и аналогично напряжения, э.д.с. несинусоидальной кривой для общего случая

=1/У+Л' + У + У+ -

£ = |/£o'+£i' + £2'+£3'+ •

Важно отметить, что, как и для синусоидального тока (напряжения, Э.Д.С.), действующее значение не зависит от начальной фазы тока (напряжения, э.д.с.).

Среднее значение несинусоидального тока. Как мы уже знаем, несинусоидальные кривые, симметричные относительно горизонтальной оси (рис. 5), а также кривые, симметричные относительно начала координат (рис. 6), не Ъодержат постоянной составляющей. Поэтому среднее значение за. период таких кривых равно нулю, так как среднее значение каждой составляющей гармоники (синусоиды) за период равно нулю. Среднее максимальное значение за полупериод определяется, так же как и для синусоидального тока, среднеарифметическим ординат и выражается высо^-ой прямоугольника по площади, равной площади полуволны периодической кривой, с основанием, равным полупериоду. При этом начало периода отсчиты-вается от начала кривой (нулевое положение и затем переход в положительную область). При другом отсчете площадь всегда меньше и, следовательно, среднее значение зависит от начальной фазы кривой.

Площадь полупериода несинусоидальной периодической кривой в общем случае равна сумме площадей полупериодов (7а) составляющих гармоник одной полярности, т. е.

S = Si + S2 + S3...=

= -COSVi ч-----cosvl/2 Ч---—cosvl/з +

п п 2 я 3

где учтено, что Т= = 2Г2 = ЗТ3 = ...

Кроме того, учтем, что средние значения 2-й гармоники и всех последующих четных за полупериод основной гармоники равны нулю независимо от их начальных фаз, так как площади положительных полуволн всегда равны площадям соответствующих отрицательных полуволн, т. е. S2 = О, S4 = О и т. д. Тогда среднее значение несинусоидальной величины, не содержащей постоянной составляющей, за полупериод, равно:

S 2А, , 2Аз , 2As

Аср = — =-COSV1/1+—— COSV1/3+--—cos\l/5+ ... (31)

1/2 п in 5п

или, например, для тока по выражению (9)

/ср =-=—COSVI/, Ч--=—COS\^3-l--—-COS 11/5+ ... =

^ я in 5п

= /cp,iCosvl/i-(-/cp,3Cosvl/3 + 7cp,5COSvl/5-t- ... (32)

Таким образом, среднее значение (наибольшее, т. е. при v]/ = = 0) за полупериод несинусоидального тока (и аналогично напряжения, Э.Д.С.), не содержащего постоянной составляющей, зависит от начальных фаз составляющих гармоник, не зависит от наличия и величины 2-й гармоники и всех последующих четных и равно сумме произведений средних значений токов каждой нечетной гармоники на косинус угла их начальных фаз, т. е.

13 • . ^

1

13

Ucp = Е ^ср.к COS ; £ср = Е Ecp,k cos х]/^.

(33)

Поэтому при одном и том же действующем значении несинусоидального тока среднее значение этого тока будет разным для различных фазных сдвигов гармоник, т. е. зависит от формы кривой. На этом основано определение коэффициента формы кривой [см. формулу (13)].

Так, например, на рис. 5,а и б изображены несинусоидальные кривые тока, для которых амплитуды 1-й и 3-й гармоник одни и те же, но во втором случае (рис. 5,6) начальная фаза

3-й гармоники vl/j сдвинута на угол а — ^. При этом феднее

значение тока изменилось с 16,98 А до 19,1 А, что определено по площади положительной полуволны кривой (на рис. не показано).

Если сложная кривая содержит постоянную составляющую, то, очевидно, среднее значение в этом случае за период будет равно постоянной составляющей, так как среднее значение каждой синусоидальной составляющей (каждой гармоники) за период равно нулю.

Среднее значение по модулю несинусоидальной величины, не содержащей постоянной составляющей, можно определить по выражению (31), но надо взять удвоенную площадь (за два полупериода) и разделить ее на целый период [фавни с формулой (10)]:

ЕЛср = —=-i-cosvl/i^cos\l/3-l-... (^'*)

I Г я п

Здесь также для каждого полупериода 1-й гармоники среднее значение всех четных гармоник равно нулю, так как пло-Щадь положительных полуволн синусоид равна площади отри-

цательных полуволн. Поэтому среднее значение по модулю также не зависит от наличия и величины четных гармоник, т. е. с учетом выражения (32)

I ^ср I = ^ср.1 cos vl/i + /1ср,з cos \1/з + /1ср,5 cos\1/5 + ... (34а)

На рис. 6 и 7 изображены кривые, содержащие 1-ю и 2-ю гармоники с одинаковыми амплитудами, причем во втором случае (рис. 7) начальная фаза 2-й гармоники сдвинута на угол

а = Несмотря на различную форму кривой (во втором случае за период длительности положительной и отрицательной полуволн не равны) в обоих случаях среднее значение тока по модулю равно среднему значению по модулю 1-й гармоники, т. е. согласно (10)

Выводы. 1. Действующее значение несинусоидального тока равно среднеквадратичному всех составляк5щих гармоник и не зависит от начальных фаз гармоник [см. формулу (30)].

2. Среднее значение (наибольшее) несинусоидального тока за полупериод зависит от начальных фаз составляющих гармоник, не зависит от наличия и величины четных гармоник и равно сумме средних значений токов всех нечетных гармоник с учетом их фаз [см. формулу (32)].

3. Среднее значение несинусоидального тока за период равно постоянной составляющей.

4. Среднее значение по модулю несинусоидального тока (за период) не зависит от начальной фазы несинусоидальной кривой и наличия и величины четных гармоник и равно сумме средних значений нечетных гармоник с учетом их фаз [см. формулу (34)].

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. На рис 5,а приведен график несинусоидального тока i, содержащего t-ю ij и 3-ю 13 гармоники и выражаемого рядом

i = 30 sin cot + 10 sin (3cot - n).

Найдем среднее значение тока. По выражению (32) имеем:

2•30 2•10 /ер =--+ cos ( - л) = 19,1 - 2,12 = 16,98 А.

Пример 2. На рис. 5, б приведен график несинусоидального тока i, содержащего тоже 1-ю и 3-ю I3 гармоники, но фаза 3-й гармоники

сдвинута относительно 1-й гармоники на угол а = л/2. Зыражение кривой в этом случае дается относительно начала несинусоидальной кривой:

i = 30sin{cot + IT) + lOsin (3cot - 9°).

Обратите внимание: период 3-й гармоники в масштабе кривой в 3 раза меньше периода 1-й (основной) частоты. Поэтому при фазовом

сдвиге а = л/2 = 90" должно быть соблюдено равенство +—^ =

90° 9°

= — , что выполняется, так как 27" + — = 30°.

Среднее значение тока в этом случае по формуле (32) 2-30 2^

Зл

/ср =-cos27°-l--^;—cos 9° = 17+ 2,1= 19.1 А.

Пример показывает (см. рис. 5,6), что при сдвиге 3-й (и всех ей кратных) гармоник относительно 1-й на угол л/2 3-я гармоника изображается косинусоидой, среднее значение которой за полупериод равно нулю (такой случай также иллюстрирован иа рис. 3, в). Поэтому среднее значение тока определяется только средним значением 1-й гармоники. Действительно, в нашем примере среднее

2-30

значение тока 1-й гармоники равно: /ср, i = ——=19,1 А.

Пример 3. Определить среднее значение по модулю сложного тока, график которого приведен на рис. 7 в трех случаях: а) при двухполупериодном выпрямлении (рис. 3,г); б) при однополупериодном, когда отрицательная полуволна заперта (рис. 3, д), и в) когда заперта положительная полуволна.

Так как кривая содержит 1-ю и 2-ю гармоники, то согласно формуле (34) при двухполупериодном выпрямлении среднее значение по модулю (рис. 8) будет равняться среднему значению по модулю 1-й гармоники:

Ucp|" = ^ = I9,lA*.

Так как в периодических кривых, не содержащих постоянной составляющей, площадь положительной полуволны равна площади отрицательной, что в рассмотренных случаях «б>; и «в» она равна площади полуволны синусоиды 1-й гармоники, но с основанием, равным периоду, т. е.

* в данном случае два штриха и один штрих |/ср|" и |/ср|' подчеркивают, что вычисления выполнены для двух- и однополупериодно-го выпрямления соответственно.

Рис. 8. Несинусоидальная кривая тока i по рис. 7 при деухполупериодном выпрямлении.

Т—период; t, и — продолжительности полуволн 1, + *2=Т; t, ^ t^.

Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные токи (напряжения, Э.Д.С.). Для сравнения в скобках приведены значения коэффициентов для синусоидальных токов:

коэффициент амплитуды ^

коэффициент формы /сф=(/Сф= 1,11); коэффициент среднего значения

_ «ср

, (/с,р = 0,637);

коэффициент искажения

1/11 +11 +11 + 11+ ...

коэффициент гармоник

{К = 1);

-, (kf = 0).

(35)

Заметим, что для определения ка, к^и к/ необходимо знать только амплитуды гармоник, т. е. спектральный состав несину-

соидальной кривой. При определении кф и кср необходимо знать и фазовые углы гармоник, так как среднее значение зависит от cosv]/ каждой гармоники, или же знать (измерить) среднее значение несинусоидальной кривой за полупериод.

5. Отрицательное воздействие гармоник на электроснабжение

Наличие гармоник в напряжении, особенно более высоких порядков, неблагоприятно действует на изоляцию электроустановок, так как увеличиваются потери в изоляции (увеличивается угол потерь tg6), что приводит к сокращению срока ее службы. При неблагоприятном сочетании фаз всех гармоник, например при совпадении по фазе максимальных амплитуд всех гармоник, пик напряжения (равный сумме максимальных амплитуд всех гармоник) может достигнуть опасного значения для изоляции. Наличие в сложной кривой напряжения спектра гармоник приводит к большой вероятности возникновения резонанса напряжения на какой-то частоте спектра. В этом случае возникает перенапряжение, опасное для изоляции.

Протекание несинусоидального тока по линии электропередачи вызывает дополнительные активные потери мощности, равные АР = ЪРг, где / - действующее значение несинусоидального тока при полезной передаваемой мощности, определяемой током основной частоты 1^.

Наличие гармоник в сети может создавать отрицательные моменты на валу асинхронных двигателей и на оси индукционных счетчиков электроучета, что может вызвать погрешность учета. Как будет показано ниже, 5-я и 11-я гармоники имеют обратную (отрицательную) последовательность фаз.

Несинусоидальные токи перегружают конденсаторы, емкостное сопротивление которых обратно пропорционально порядку гармоник.

Несинусоидальные токи создают путем индукций большие помехи в проводных линиях связи и каналах телемеханики.

Наличие высших гармоник вызывает различные сдвиги фаз между токами и напряжениями каждой гармоники в цепях с реактивными элементами, что приводит к различным формам напряжения и сложного тока и т. д. (такой случай рассмотрен на рис. 14).

В заключение следует отметить, что приведенные в книге общие понятия о несинусоидальных токах показывают, насколько усложняются выражения всех основных характеристик

сложного (несинусоидального) тока по сравнению с синусоидальным. Значительно усложняются и все расчеты электрических цепей с несинусоидальными токами, требующие, например, применения метода наложения и т. д.

Синусоидальные токи свободны от перечисленных недостатков. Применяя синусоидальный ток, мы получаем в линейных цепях все производные и взаимосвязанные величины также синусоидальными (магнитный поток, э.д.с., напряжение, падение напряжения на участках цепи и т. д.). Это приводит к обобщенным действиям над синусоидальными величинами одной частоты и упрощает все расчеты электрических цепей. Поэтому электроснабжение всегда выполняется синусоидальным током.

Однако в практической энергетике в силу ряда причин, в основном из-за особенностей генерирования электроэнергии, из-за наличия нелинейных элементов в электросети и, главным образом, нелинейной нагрузки потребителей, почти всегда в напряжении (токе) содержатся в большей или меньшей степени гармонические составляющие, т. е. синусоида напряжения (тока) в какой-то мере искажена.

Допустимое содержание гармоник оценивается коэффициентом гармоник по формуле (35). Согласно ГОСТ 13109-67 для промьппленных сетей коэффициент гармоник не должен превышать к/< 5%. При таком содержании гармоник кривая на экране осциллографа визуально не отличается от синусоиды. Тем не менее в распределительных сетях, питающих мощные преобразовательные установки, содержание гармоник может быть большим. В таких случаях при практических расчетах несинусоидальные токи и напряжения заменяются на эквивалентные синусоидальные. Замена производится так, чтобы действующее значение эквивалентного тока (напряжения) равнялось действующему значению несинусоидального тока (напряжения).

6. Возникновение гармоник при генерации электрической энергии

а) Генераторы явнопопюсные и неявнопопюсные

В качестве генераторов переменного трехфазного тока на электростанциях используются исключительно синхронные генераторы. На гидростанциях применяются явнополюсные генераторы с относительно небольшой частотой вращения (до 300 об/мин), на тепловых электростанциях — неявнополюсные с частотой вращения 3000 об/мин, Явнополюсные генераторы

Рис. 9. Магнитные системы генераторов с явнополюсным индуктором (а) и иеявнопопюсным (б).

выполняются многополюсными, а кеявнополюсные — двухполюсными (одна пара полюсов).

Если обозначить число пар полюсов индуктора через р, частоту вращения индуктора (ротора) через и, об/мин, то частота переменного тока, Гц, синхронного генератора определится выражением

(36)

Так как частота промышленного переменного тока стандартизована и равна 50 Гц, то пр — 3000, откуда определяется число оборотов гфи известном числе пар полюсов.

Для двухполюсного генератора (р = 1) за время одного оборота ротора (угол поворота a=27t) происходит один полный цикл изменения э. д. с, т. е. угловая частота со = Ъ4 =

и один оборот соответствует двойному полюсному делению 2т |(т. е. в этом случае т = л). Здесь Т— период переменного тока. I Для многополюсного генератора за время одного оборота ротора происходит р циклов изменения э.д.с., т. е. здесь один цикл совершается при повороте ротора на геометрический угол а = 2%1р, соответствующий двойному полюсному делению 2т. Произведение ра называется электрическим углом, который в общем случае равен:

pot = cot. (37)

На рис. 9 схематически изображены магнитные системы однофазных генераторов с явнополюсным индуктором (рис. 9, а)

и неявнополюсным (рис. 9,6). Как видно из рис. 9, а, для явнополюсного генератора зазор между статором и ротором по окружности статора неодинаков — в промежутках между полюсами он больше, чем над полюсами. Для неявнополюсного генератора зазор между статором и ротором везде один и тот же.

Если обмотка возбуждения индуктора обтекается постоянным током, то в каждой паре полюсов возникает м.дс., вызывающая магнитный поток, который замыкается от полюса к полюсу, дважды проходя воздушный зазор 5. При вращении индуктора (ротора) вместе с полюсами будет вращаться магнитный поток, пересекая провода обмотки, расположенные по окружности статора. При этом согласно закону Фарадея в каждом проводе наводится э.д.с., равная:

епр = В/прГпр, (38)

где В — индукция в воздушном зазоре между ротором и статором; /пр - длина провода статора; Гпр - скорость пересечения провода магнитным потоком.

При заданной конструкцией машины длгае провода обмотки статора и постоянной частоте вращения ротора наводимая в проводе э.д. с. зависит только от распределения индукции В в зазоре 5.

При вращении индуктора через каждое полюсное деление т полярность полюса под проводом обмотки статора меняется на обратную, вследствие чего м.дс и, следовательно, магнитный поток через каждый угол ра = п изменяют направление на обратное. Так как при неизменном токе в обмотке возбуждения м.д.с. и магнитный поток по величине не изменяются, то их изменения во времени, а также изменение гадукции в зазоре неявнополюсного генератора происходят по кривой, по форме близкой к прямоугольной волне, симметричной относительно горизонтальной -оси (поскольку магнитная цепь симметрична). Высота прямоугольника равна амплитуде индукции.

У явнополюсных генераторов при вращении индуктора индукция в зазоре не постоянна по окружности статора и распределение ее в какой-то мере отличается от прямоугольной волны.

На рис. 10, а изображен момент времени, когда провод I обмотки статора находится на угловом расстоянии ао до нейтральной оси полюсов 00'. На рис. 10, б изображена развертка статора, где показано распределение индукции В в зазоре 6 по окружности статора на двойном полюсном делении 2т при вращении индуктора (кривая В),

Рис- 10. Распределение индукции в зазоре 6 явнололюсного генератора.

Так как эта кривая симметрична относительно горизонтальной оси и относительно вертикальной 00 (например, проведенной через ось полюса), то в ней отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, а начальные фазы всех нечетных гармоник совпадают (27). Принимая во внимание, что геометрическому углу ttj (рис. 10, а), определяемому положением произвольной точки А на окружности ротора, соответствуют электрические углы для 1-й гармоники ра, рад, для 3-й Зра и для 5-й 5ра и т.д., то индукция в точке А может быть выражена тригонометрическим рядом (27)

В А = Bg, 1 sin ptti + Bg_ 3 sin 3pai + Bg, 5 sin 5pai -I- ..., (39)

где Bg, J, Bg_ 3, Bj^ 5 — индукции в зазоре 5, соответствующие 1, 3 и 5-й гармоникам.

Аналогичное выражение получим и для любого угла а.

Заметим, что гармоники магнитной индукции являются пространственными гармониками, так как они образуются (зарождаются) в зазоре и распределяются в пространстве над двойным полюсным делением индуктора, как это показано на рис. 10, б. Пространственные гармоники, как увидим ниже, приводят к возникновению гармоник в индуктированной э.д.с. в обмотке статора, т. е. в электрической цепи.

Итак, при вращении индуктора с равномерной скоростью каждый провод обмотки статора пересекается магнитным

потоком индуктора, причем магнитная индукция в зазоре по окружности статора (ротора) на протяжении каждого двойного деления изменяется по выражению (39). Найдем э.д.с. проводника / для основной (1-й) гармоники. В этом случае В = = Bg sin pa.

Если за начало отсчета принять момент, когда проводник / статора находится на нейтральной оси полюсов 00' (рис 10, а), то, учитывая выражения (36) и (37),

2т ^ ^ и тогда

Б = Bg sin at. (40)

Согласно (38) э.д.с. провода

бпр = LpVnpB = кВ^ sin ю£ = £м, пр sin cot.

Для обмотки, состоящей из w витков, с учетом всех обмоточных коэффициентов, учитываемых общим коэффициентом к, мгновенное значение э.д.с. основной частоты

е = /cw£m, пр sin cot = sin cot. (41)

и действующее значение э.д.с. обмотки

Зная индукцию в зазоре для каждой гармоники B^j,, В^^ и т. д., можно определить индуктированные в обмотке статора э.д.с каждой гармоники £м,з, £м,5 и т. д., и тогда мгновенное напряжение на обмотке выразится рядом

e = £M,isina + £M,3sin3a + £M,5sin5a+ ... (42)

Действующее значение наведенной э.д.с. в обмотке статора с учетом гармоник по формуле (30) будет равно:

£ = 1/^£^,1 + £м,з + £?1,5+ ■•• (43)

Для неявнополюсных генераторов, если не принято специальных мер, распределение гадукции в зазоре на двойном полюсном делении будет выражаться прямоугольной волной. Разложение прямоугольной волны с высотой А, как это доказывается в математике, представляется тригонометрическим рядом

4у4 1 1

/(cot) =-(sin cot н--sin 3cot + — sin Scot + ...),

71 3 5

откуда видно, что амплитуда 3-й гармоники составляет 33% амплитуды 1-й гармоники, а 5-й — 20% и т. д.

Таким образом, при генерации электрического тока синхронными генфаторами неизбежно возникают нечетные гармоники. Чтобы их снизить, при конструировании синхронных машин принимаются меры к тому, чтобы распределение магнитной индукции в зазоре по окружности статора по возможности приближалось к синусоидальному. Для этой цели у явнопо-л ю с н ы x генераторов выбирают оптимальным соотношение длин полюсной дуги и полюсного деления, на краях полюсных наконечников делают скосы, увеличивающие по краям воздушный зазор, и т. п. В неявнополюсных генераторах снижение гармоник достигается в основном соответствующим распределением обмотки возбуждения на полюсном делении ротора и, в частности, за счет скоса пазов, т. е. путем расположения проводников по винтовой линии с малым углом закручивания.

Для уменьшения гармоник применяется также укорочение шага витков у обмотки статора. Рассмотрим сначала обмотку с полным шагом. В этом случае прямой и обратный провода одного витка расположены на расстоянии полюсного деления (у = т), т. е. под разноименными полюсами. "Поэтому в обоих проводах наводятся одинаковые э.д.с, которые складываются,

У

и э. д. с. витка £вит = 2£пр- При укороченном шаге .— < 1 наводимые э.д.с. в витках сдвинуты по фазе относительно друг

у

друга на угол тс—. При этом э.д.с. витка равна £вит =

= 2£npSin-, где коэффициент укорочения /Cj, = sm—. Если,

у 4

например, принять — = у = 0,8, то £вит = 2£пр sin 0,8:1: = 1,9£пр-При этом для 5-й гармоники коэффициент укорочения равен:

■ 5ТС-4 ^

/c^ = sin-= 0,

откуда £5, вит = О, т. е. 5-я гармоника будет полностью исключена.

Снижение амплитуды достигается еще за счет соответствующего распределения катушек обмотки статора на фазной зоне.

б) Гармоники в трехфазных обмотках генераторов

Рассмотрим наведение э,д.с. в трехфазной обмотке статора. На рис. 11, а схематически изображена развертка статора трехфазного синхронного двухполюсного генератора, обмотка которого состоит из трех катушечных групп А, В и С с магнитными осями уА, ув и Ус- На рис. 11,6 показано распределение магнитной индукции основной частоты в зазоре 5 (см. рис. 9 и 10) по окружности статора, равной 2т {2п) для трех положений во времени: 1) максимум синусоиды индукции В соответствует принятому началу отсчета а = 0 и совпадает с магнитной осью у А катушечной группы фазы А; 2) через время,

2 ^ 2

равное —7^ максимум индукции сместится на угол а=—тс

и совпадет с магнитной осью ув катушечной группы фазы В; 2

3) еше через — Т максимум индукции сместится на угол 4

а = — тс и совпадет с магнитной осью ус фазы С. Далее цикл повторяется.

Наведенная э.д.с. в обмотке статора согласно выражениям (40) и (41) следует закону изменения индукции. Поэтому синусоиды индукции на рис. 11,6 являются и синусоидами э.д.с., наведенными в обмотке статора. На этом основании на рис. 11,6 эти синусоиды изображены двойными линиями: черная линия изображает изменения индукции, желтая, зеленая или красная линии — э. д. с.

Как видно из рис._11,б, синусоиды перемешаются слева направо (отсчет углов перемещения от нуля вправо), занимая последовательно положения Еа, Ев, Ее- Это значит, что э.д.с. фазы А раньше достигает максимума по сравнению с э. д. с. фаз

В и С, т. е. опережает их соответственно на углы —л(120°) и

4

—71 (240°). Следовательно, э.д.с. 1-й гармоники каждой фазы можно выразить так:

фазы А вА =£„,isincof;

фазы В ев = £м,! sin (cot-120°); ^ (44)

фазы С ес = £^,,i sin(cof - 240°).

Рис. 11. Развертка статора трехфазного генератора (а), распределение магнитной индукции основной частоты в зазоре (б), векторная диаграмма э. д. с. (в).

Нетрудно убедиться, что в любой момент сумма э. д. с. всех фаз симметричной трехфазной системы равна нулю, т. е.

еА + ев + ес = £м sin oaf + £Msin(fflf - 120°) + Ем^п((й1 - 240°) =

= 0.

Действительно, sin cor + sin (юг - 120°) + sin (иг - 240°) =

sin юг coscorl/з sin rat со8сог|/з = sma)t------~----1----^— = 0

[использована тригонометрическая формула sin (a — (3) = = sin a cos p — cosa sin Р].

Как мы уже знаем, синусоидальная величина может быть изображена вектором, длина которого равна амплитуде и ко-

2п

торый врашается с угловой скоростью со = -^. Направление

вращения векторов условно принято против движения часовой стрелки. Если э.д.с. фаз достигает максимума в указанном на рис. 11,6 порядке, то в этом случае направление вращения векторов принимается за прямое (против движения часовой стрел-^ки), и прямой порядок следования фаз обозначается А-В —С.

Если направление перемещения синусоиды изменится на обратное (справа налево), то порядок следования фаз изменится на обратный и будет А — С ~ В. В этом случае вращение векторов будет направлено в обратную сторону, т. е. в направлении движения часовой стрелки. Это может быть при изменении направления вращения индуктора (ротора) генератора на обратное.

Исходя из сказанного на рис. 11,6 изображена векторная диаграмма э.д.с. трехфазного генфатора.

Обмотки статора могут б.ыть соединены звездой или треугольником [2]. Эти схемы соединений и векторные диаграммы э.д.с. для них показаны на рис. 12.

Соединение в звезду. При соединении обмоток в звезду конщ,1 обмоток всех фаз X, Y, Z объединяются в один узел (рис. 12,а). В каждой фазе наводятся э.д.с. Ев и £f, сдвинутые между собой по фазе согласно (44) на 120°. Принято считать, что мгновенные значения э.д.с. фазы равны мгновенному значению разности потенциалов начала А и конца X обмотки. Так как концы всех фаз соединены в одну точку и сумма мгновенных значений э.д. с. трех фаз в этой-точке равна нулю, то потенциал концов обмоток принимается равным нулю. Тогда мгновенные потенциалы начал обмоток А, В и С равны соответствующим фазным э.д.с. £ф. Линейная (междуфазная) э.д.с. £-„ например E^g, равна разности мгновенных потенциалов зажи.мов /4 и В, т. е. разности фазных э. д. с: £.|в = £^ — £„ и аналогично Ёвс = Ёв~ £с, Ёса = Ёс- Ёа-

На.рис. 12,6 построена векторная диаграмма э.д;с, где векторы линейных напряжений, например Ёав, определены построением геометрической разности векторов фазных э.д.с. Ёа и £в. Из полученного равнобедренного треугольника ОЕ^Е^в

следует, что ^£л = £фСО5 30°, откуда

Соединение в треугольник. При соединении обмоток в треугольник начало каждой обмотки соединяется с концом другой по замкнутому контуру (рис. 12, в). При этом между линейными зажимами А — В, В — С и С — А оказываются подключенными фазные обмотки, в которых наводятся фазные э. д. с, сдвинутые между собой на 120°. Следовательно, линейные э.д.с. по вели-

* Точки над буквами обозначают, что величины векторные. Векторы складывают и вычитают геометрически.

Рис. 12. Схемы соединения обмоток статора трехфазного генераторп

чине равны фазным э.д.с., т. е. при соединении треугольником

Еп = Еф. (45)

Векторная диаграмма э.д.с. для этого случая показана на рис. 12, г. Так как геометрическая сумма э. д. с. трех фаз равна нулю, то в замкнутом контуре треугольника при отсутствии внешней нагрузки ток протекать не будет. Подчеркнем, что этот вывод справедлив только при отсутствии в фазных э.д.с. гармоник.

Фазные соотношения векторов высших гармоник трехфазно1-о генератора. Согласно (42) и (44) мгновенные значения э. д. с. к-ш гармоники для каждой фазы можно представить следующим образом:

eA,k = E^^ksmkwt; ' _

(46)

eB,A = £M,Asin/c(cof-120°); f с,А- = Ей, к sin k{wt - 240").

Рассмотрим основные-характерные случаи.

:.7

1. Если к =1:1; 13, то'^фазы А Данных гармоник опережают фазы В на угол 120" и вращение векторов 1, 7 и 13-й гармоник

Фазовые соотношения гармоник в' трехфазной обмотке генератора

Таблица 1

происходит в прямой последовательности Д — В — С, т. е. имеет место прямая последовательность векторов 1, 7 и 13-й гармоник

2. Если fc = 5; 11, то фазы А этих гармоник опережают на угол 120° фазы С. Следовательно, вращение векторов 5 и 11-й гармоник происходят в обратной последовательности А ~ С — В, т. е. при прямой последовательности 1-й гармоники 5 и 11-я гармоники имеют обратную последовательность.

3. Если к = 3, то для всех трех фаз относительные углы сдвига фаз равны нулю, это значит, что э.д.с. 3-й гармоники всех фаз совпадают между собой по фазе (взаимно не вращаются), т. е. имеют нулевую последовательность.

Сказанное иллюстрируется табл. 1, где показано последовательное преобразование аргумента каждой фазы для 1, 2,. 3, 5, 7, 11, 13-й гармоник.

На рис. 13 три фазные э.д.с. трехфазного неявнополюсного синхронного Генератора изображены прямоугольными волна-

Т 2 ^

ми е^, ев и ее, смещенными на углы Там же изобра-

жены 1-е и 3-й гармоники, откуда видно, что э.д.с. 3-й гармоники (синие линии) всех фаз совпадают между собой по фазе Это обстоятельство приводит к .важному следствию. Так как при соединении обмоток генератора звездой линейные напряжения определяются как геометрическая разность векторов двух фаз, а векторы 3-й гармоники находятся между собой в фазе, то их разность будет равна нулю, т. е. -

£л.з~£в,з = 0; Ёв,з-Ёс,з = 0 и £с,з-£л,з = 0.

Поэтому в линейных э.д.с. трехфазного генератора э.д.с. 3-й гармоники и ей кратные отсу/жтвуют В это.ч случае при наличии гармоник в фазных э.д.с. отношение линейной э.д.с. к фазной всегда меньше чем |/3, т. е.

Ел l/3l/£i + Е\ Ч-

£ф |/£FT£lT£| + £? +

<

" Пример 4. Фазная э.д.с. генератора на вторичной стороне трансформатора напряжения выражается рядом

еф = 100 sin cot + 30 sin Зсог -I- 20 sin 5co(.

Тогда действующее значение фазной э.дс. по формуле (30)

£ф =

Рис. 13. Сдвиг фаз 1-й и 3-й гармоник в трехфазной обмотке генератора.

Действующее значение линейной э.д.с. найдем, определив сперва линейные э.д.с. 1-й и 5-й гармоник:

£-,.| = 1/3£ф, 1=1/3-^ =122 В;

£,.5 = 1/3£ф.5 = 1/3-^= 24,4 В и тогда

£.1 = 1/122^-1-24,42 = 124,5 В.

Отношение 1инеиной э.д.с. к фазной будет равно:

£л 124,5 £ф"""75Д

- = 1.66 <

Таким образом, измеряя одним и тем же вольтметром (электродинамической системы) линейное напряжение Uji генератора, а затем фазное напряжение U^, можно определить дей-

ствуюшее значение фазного напряжения 3-й гармоники из соотношения

где к = -—— определено по данным измерения вольметром.

откуда

^^Ф.3 = ^1/3^- (47)

Так как для синусоидального напряжения к = |/з, то в этом случае подкоренное выражение равно нулю и (7ф,з = 0.

Пример 5. Определить напряжение 3-й гармоники, если измерено

124,5

и., = 124,5В и Уф = 75,2В, т. е. к= = 1,66.

По (47) имеем: 124,5

1/ф.з =-^1/3^ 1,66^" = 21,2 В

1,66 1/3

и амплигудное значение 1/^,3 = 1/^-21,2 = ЗОВ, что согласуется с приведенным примером 4.

При соединении обмоток генфатора треугольником линейные напряжения равны фазным. Так как э.д.с. 3-й.гармоники каждой фазы совпадают по фазе, то в замкнутом контуре треугольника суммарная э.д.с. будет равна арифметической су.име э. д. с. всех трех фаз, т. е. ЗЕ,. Все другие гармоники, не кратные трем, представляют уравновешенные трехфазные системы, для которых геометрическая сумма э.д.с. трех фаз равна нулю. Утроенное напряжение 3-й гармоники (и всех кратных третьей) может быть измерено вольтметром, включенным в разрыв треугольника на холостом ходу генератора и равно:

U = 3\/El + El + El+ ...

Суммарная э.д.с. 3-й гармоники ЗЕ^ вызовет в контуре обмоток генератора, соединенных треугольником, протекание тока 3-й гармоники даже при отсутствии внешней нагрузки генератора:

/. = ^=f-, (48)

где Zj — сопротивление обмотки каждой фазы для тока 3-й гармоники (точки над буквами означают, что эти величины векторные).

Ток 3-й гармоники может быть шмерен амперметром, включенным в разрыв треугольника при холостом ходе генератора.

Протекание тока 3-й гармоники не завиагг от нагрузки и создает дополнительные активные потери мощности в активном сопротивлении обмотки (I3R). Падение напряжения, создаваемое током 3-й гармоники в сопротивлении обмотки Z3 каждой фазы, уравновешивается э. д с. этой гармоники, т. е. /3Z3 = £3, вследствие чего в линейном напряжении, как и при

соединении звездой, э.д.с. 3-й гармоники отсутствует.

Выводы. 1. Электродвижущая сила синхронного генератора в принципе несинусоидальна и по своей форме приближается к прямоугольной волне, особенно для генераторов с неявно-выраженными полюсами индуктора.

2 Электродвижущая сила генератора не содержет постоянной составляющей и все четные гармоники в ней отсутствуют..

3. Электродвижущая сила генератора содержит только нечетные гармоники с начальной фазой, равной нулю.

. 4. Превалируют 3 и 5-я гармоники, причем амплитуда гармоник с повышением их порядка уменьшается.

5. Электродвижущая сила 3-й гармоники отсутствует в линейном напряжении генератора независимо от схемы соединений обмоток в звезду или в треугольник.

6. 7 и 13-я гармоники по направлению вращения трехфазной звезды векторов совпадают с основной, т. е. 1-й гармоникой, и являются гармониками прямой последовательности.

7. 5 и 11-я гармоники имеют обратное направление вращения векторов и являются гармониками обратной последовательности.

8. 3-я гармоника (и все ей кратные) всех фаз находятся в фазе между собой и являются гармониками нулевой последовательности.

9. В обмотке генератора, соединенного треугольником, независимо от нагрузки протекает ток 3-й гармоники, создавая дг> полнительные активные потери в обмотке генератора.

10. При конструировании синхронных машин принимаются меры, направленные к снижению или подавлению гармоник. Основными мерами по уменьшению гармоник для неявнополюсных генераторов являются применение скошенных пазов в риторе (индукторе), укорочение шага витков обмотки статора, оптимальное распределение катушек обмотки статора

в фазной зоне. Для явнополюсных генераторов это достигается скосом полюсов по краям и выбором оптимального соотношения длины полюса и полюсного деления.

Согласно ГОСТ 183-74 искажение синусоидальности кривой линейного напряжения генераторов переменного тока с частотой 50 Гц при холостом ходе и номинальном напряжении для генераторов мощностью свыше 100 кВ-А не должно превышать 5% и для генераторов от 10 до 100 кВ ■ А — 10%. [Коэффициент гармоник определяется по выражению (35).] При соединении обмотки статора в треугольник ток 3-й гармоники при номинальной мощности генератора не должен превьипать 20% номинального тока генератора. Эти требования ГОСТ удовлетворяются в основном за счет подавления 5-й гармоники укорочением шага обмотки, причем 3-я гармоника и ей кратные в линейном напряжении не содержатся.

7. Возникновение гармоник при передаче электроэнергии

а) Несинусоидальное напряжение в линейной qenu

Рассматривая в целом одновременный процесс производства и потребления электроэнергии, мы различаем три основных звена: выработка электроэнергии на электростанциях; передача электроэнергии к потребителю по электрическим сетям, включающим трансформаторные подстанции и линии электропередачи; потребление электроэнергии, включая приемные трансформаторные или преобразовательные подстанции и приемники электроэнергии. Каждое из этих звеньев является в какой-то мере причиной искажения синусоидальной формы напряжения и тока, т. е. причиной возникновения высших гармоник.

Если к линейной' цепи приложено несинусоидальное напряжение, содержащее гармоники 1, 2, 3-го, и-го порядков, то ток будет содержать гармоники только этих же порядков.

При активном сопротивлении токи всех гармоник находятся в фазе «со своими» гармониками напряжения и форма несинусоидального тока, проходящего по сопротивлению, соответствует форме несинусоидального напряжения, приложенного к нему. Если несинусоидальный ток протекает по активно-

' Имеется в виду электрическая цепь, подчиняющаяся закону Ома. Подробнее см. п. «6» этого же параграфа.

му сопротивлению, то падение напряжения на сопротивлении несинусоидально, содержит те же гармоники, что и ток, и по форме соответствует форме тока.

Если же в цепи имеется реактивное сопроТ1ГОление mL

или —то фазные сдвиги токов всех гармоник будут раз-юС

личны и форма несинусоидального тока будет отличаться от формы приложенного несинусоидального напряжения. Действительно, так как реактивное сопротивление зависит от частоты тока, тдуктивное сопротивление для к-й гармоники равно x, 1^ = kcoL, т. е. индуктивное линейное сопротивление прямо пропорционально порядку гармоники. Например, если индуктивность элемента L= 0,0318 Г, то для основной частоты 50 Гц (/с = 1) индуктивное сопротивление x^i = 2nfL= = 2-я-50-0,0318 = 10 Ом, а для 3-й гармоники {к = 3) Xl.3 = = 3-2-11-50-0,0318 = 30 Ом и т. д. Таким образом, чем выше порядок гармоники, тем большее сопротивление току представляет одно и то же индуктивное сопротивление. Поэтому амплитуды гармоник тока будут уменьшаться обратно пропорционально порядку гармоники и высокие гармоники тока могут стать невыявленными в общей форме тока, хотя в напряжении присутствуют.

Емкостное сопротголение для к-й гармоники равно xc,fc = = 1/кюС, т. е. емкостное линейное сопротивление обратно пропорционально порядку гармоники. Например, если емкость конденсатора С = 3,18 мкФ, то для основной частоты 50 Гц

10*

(к = 1) емкостное сопротивление xc,i = ——--— = ЮОО Ом,

2-я-50-3,18

10*

а для 3-й гармоники (к = 3) хс з =-= 333 Ом и т. Д

3-2-я-50-3,18

Таким образом, чем выше порядок гармоники, тем меньшее сопротивление току представляет один и тот же конденсатор. Поэтому амплитуды гармоник тока будут увеличиваться пропорционально порядку гармоники и выявляться в общей форме тока в большей степени, нежели в фо^эме кривой напряжения.

Изменение формы сложного тока при несинусоидальном напряжении в зависимости от реактгоного сопротивления цепи покажем на примере. Пусть несинусоидальное напряжение, выраженное тригонометрическим рядом (рис. 14, а)

м = 310 ^sin tt>f — у sin Зал + у sin Smt^,

приложено сначала к цепи, состоящей из последовательно включенных активного сопротивления и индуктивности (рис. 14,6), а затем к цепи, состоящей из последовательно включенных активного сопротивления и емкости (рис. 14,в). Примем для обеих цепей R = 100 Ом и для 1-й гармоники

х, = (oL= ^— = 100 Ом. ' юС

Расчет цепей произведен для каждой (fc-й) гармоники по формулам

R

(49)

Результаты расчета сведены в табл. 2.

На рис. 14 на основании данных табл. 2 построены графики напряжений 1-й (красная линия), 3-й (синия Л1шия) и 5-й (зеленая линия) гармоник. Затем путем алгебраического сложения их ординат для каждого момента времени получены ординаты кривой несинусоидального напряжения (черная линия), заданно-

/1 IN

го выражением и = 310 ( sin mt — — sin 3(ot + — sin mt

В цепи с активным сопротивлением форма несинусоидального тока повторяет в другом масштабе форму несинусоидального напряжения.

Таблица 2

Расчет цепи для гармонических составляющих

Рис. 14. Изменение формы несинусоидапьного тока в зависимости от реактивного сопротивления цепи.

о — форма напряжения и тока в цепи с активным сопротивлением; б —форме токо при том же напряжении в цепи с индуктивным сопротивлением; в —то же в цепи с емкостным сопротивлением.

Далее, по данным расчета построены графики.гармоник токов с учетом фазовых сдвигов для цепи с индуктивностью (рис. 14,6) и для цепи с емкостью (рис. 14,в). Результирующая кривая тока для каждой цепи получена также по методу наложения путем алгебраического суммирования ординат всех составляющих гармонж тока для каждого момента времени. Как ввдно из графиков, форма тока в цепи с 1шдук-тивностью по сравнению с формой напряжения приблизилась к синусоиде, так как амплитуды 1-й и 3-й гармоник существенно уменьшились. В цепи с емкостью, наоборот, амплитуды 3-й и 5-й гармоник возросли и форма тока исказилась еще более.

Важно отметить, что в линейных цепях дополнительных гармоник не возникает и, следовательно, при синусоидальном напряжении ток в цепи всегда будет синусоидальным.

б) Нелинейные элементы в цепи электропередачи

Возникновение гармоник при генерации электроэнергии мы рассмотрели выше. Возникновение гармоник в звеньях электропередачи и потребления принципиально отлично и является следствием нелинейности отдельных элементов этих звеньев. Напомним, что линейными цепями называются цепи, содержащие только линейные элементы, т. е. такие, сопротивление которых не зависит от тока или приложенного к ним напряжения Эти элементы и цепи, состоящие из них, подчиняются закону Ома. Вольт-амперная характеристика линейных элементов, т. е. зависимость тока от напряжения (или наоборот), построенная в прямоугольных координатах (осях), выражается прямой линией, проходящей через начало координат.

Нелинейными элементами (цепями) называются такие, сопротивление которых зависит от протекающего по ним тока или приложенного к ним напряжения. Их вольт-амперная характеристика нелинейна. Различают инерционные и безынерционные нелинейные сопротивления. К первым относятся элементы, сопротжление которых связано с тепловыми процессами (нагревание, остывание). Все остальные нелинейные элементы (нелинейность которых не связана с тепловыми процессами) называются безынерционными. Заметим, что если постоянная времени нагрева инерционного сопротивления больше периода переменного тока, то за период сопротивление практически не изменяется и поэтому такое сопротивление будет линейным.

Рис. 15. Характеристики нелинейных элементов, искажающие синусоидальную форму тока (напряжения). а — симметричная нелинейная характеристика для синусоидального напряжения; б —то же для синусоидального тока; в —несимметричная нелинейная характеристика.

Надо сказать, что идеальных линейных элементов не существует. Так, например, резистор, представляющий постоянное активное сопротивление, при прохождении по нему тока нагревается и изменяет свое сопротивление. Также от нагрева изменяет свои геометрические размеры катущка индуктивности и, следовательно, изменяется ее индуктивность и т. д., но эти изменения малы и практически ими пренебрегают.

Нелинейные элементы могут иметь симметричные вольт-амперные характеристики или несимметричные. Симметричными характеристиками называются такие, для которых 1{и)= —/(—I/), т. е. сопротивление нелинейных элементов не зависит от направления в них тока. Для несимметричных характеристик 1{и)Ф —1{ — U) и при резко выраженной несимметрии характеристики нелинейный элемент пропускает ток практически только в одном направлении. Такие нелинейные элементы называются вентилями.

Нелинейные элементы являются преобразователями синусоидального напряжения (или тока) в периодическое несинусоидальное напряжение (или ток), причем часто нежелательное. Образование несинусоидального тока показано на рис. 15. Если , к нелинейному элементу с симметричной характеристикой (рис. 15,0 — черная линия) приложить синусоидальное напряжение и (зеленая линия), то путем несложного построения можно увидеть, что форма тока i (красная линия), протекающего по этому элементу, будет остроконечной и резко отличается от синусоиды.

Построение кривой тока г = /(cof) производится по точ-

л я я я

кам для выбранных значений cof, например О, —, —, —

п

и т. д. Ход построения, например, для значения <вг = — показан

стрелками схг точки 1 на синусоиде напряжения и до точки 5 на кривой тока г.

Если же через этот нелинейный элемент пропустить синусоидальный ток i (рис. 15,6 - красная линия), то, произведя аналогичное построение, можно получить форму несинусоидального падения напряжения и на этом элементе (зеленая линия).По-

3

строение показано на рис. 15,6 для значения cot = у я, откуда

видно, что напряжение на нелинейном сопротиблении при синусоидальном токе имеет тупую приплюснутую форму.

Несинусоидальную кривую напряжения (или тока) можно разложить по теореме Фурье на составляющие гармоники

Рис. 16. Магнитная характеристика трансформатора (а) и графическое определение формы намагничивающего тока (б)

(см. § 2). Поэтому нелинейные элементы в электрических цепях часто называют генераторами гармоник.

Поскольку несинусоидальные кривые напряжения и тока при симметричных нелинейных элементах симметричны относительно оси времени (см. рис. 5), то они не содержат постоянной составляющей.

На рис. 15, в слева показана вольт-амперная характеристика нелинейного сопротивления с несимметричной характеристикой. При синусоидальном напряжении й ток г'пр через такой элемент проходит при положительном значении синусоиды и и (как видно из графика) реэко ограничен значением г'обр при отрица±ельном значении синусоиды напряжения. При разложении такого тока в ряд появляется постоянная составляющая тока. Несимметричные нелинейные сопротивления — вентили широко-применяются для преобразования переменного тока в постоянный. -

в) Трансформатор как нелинейный элемент сети

Типичной нелинейной симметричной нагрузкой в звеньях электропередачи является трансформатор. Это объясняется нелинейной характеристикой намагничивания стального сердечника трансформатора

где Ф — магнитный поток; г'о — намагничивающий ток; Wj — число витков первичной обмотки.

Однофазный трансформатор. На рис. 16,а изображена магнитная характеристика однофазного трансформатора (черная линия) с учетом гистерезиса. На рис. 16,6 показаны намагничивающий ток /(, трансформатора (красная линия) и синусоидальное первичное напряжение (зеленая линия). Желтой линией в противофазе показана синусоида э.д.с. первичной обмотки е^, уравновешивающая приложенное напряжение Uj. Возбужденный магнитный поток Ф (синяя линия) связан с э.д.с. вы-АФ

ражением = — Wj где АФ/Д1 характеризует скорость изменения потока (отношение предельно малого изменения потока ЛФ за предельно малый отрезок времени At) и опережает Э.Д.С. Ci на угол п/2. Построение кривой тока г'о показано штриховыми линиями для двух точек - для восходящей ветви магнитной характеристики (точка 1 на оси cot, точки 2 — б) и для нисходящей ветви (точки Г — б').

Puc. 17. Искажение фазного напряжения в трехфазной трансформаторной группе.

Обратите внимание:

1. Несмотря на то, что первичное напряжение щ синусоидально, намагничивающий ток /о несинусоидален. Несинусоидальный намагничивающий ток создает синусоидальный магнитный поток Ф, индуктирующий синусоидальные первичную Ci и вторичную 02 (изображается такой же кривой, но в другом масштабе) э.д.с.

2. Необходимая несинусоидальность намагничивающего тока обусловлена наличием в намагничивающем токе составляющей 3-й гармоники.

Вследствие гистерезиса кривая тока несимметрична (как отчетливо видно на рис. 16,6) относительно вертикальной оси. Если же пренебречь потерями в стали на гистерезис (как сделано на рис. 17, а), то кривая намагничивающего потока будет симметрична как относительно оси времени, так и относительно начала координат (см. рис. 5, 14, а, 15, а, 6) и, следовательно, будет содержать только нечетные гармоники с начальными фазами, равными нулю (или сдвинутыми на к). Преобладающей является 3-я гармоника. На рис. 17, а схематически показан однофазный трансформатор и приведены графики несинусоидального намагничивающего тока г,, и его составляющих (o_ 1 и !o_ 3 — 1-й и 3-й гармоник соответственно. Магнитный поток Ф синусоидален, благодаря чему первичные и вторичные Э.Д.С. е также синусоидальны. Их изменения показаны одной и той же синусоидой. Обе составляющие намагничивающего тока замыкаются через обмотку генератора.

Трехфазные трансформаторы. Для трехфазных трансформаторов дело обстоит иначе. Трехфазные трансформаторы могут выполняться в виде группы из трех однофазных трансформаторов с независимыми магнитными системами или в виде трехфазного трехстержневого трансформатора со связанными магнитными системами.

На рис. 17,г схематически показана группа из трех однофазных трансформаторов, первичная обмотка которых соединена в звезду без нулевого провода. В этом случае в намагничивающем токе составляющей 3-й гармоники нет. Дело в том, что составляющие 3-й гармоники во всех фазах были бы одновременно направлены либо к нулевой точке трансформатора, либо к нулевой точке генератора и, следовательно, не могли бы замкнуться (нулевые точки для токов, совпадающих по фазе, непроходимы).

При отсутствии 3-й гармоники в намагничивающем токе форма магнитного потока находится построением (рис. 17,6) путем наложения на график 17,о синусоиды 3-й гармоники тока

в противофазе, т. е. в обратном направлении. Это равносильно появлению в магнитном потоке составляющей 3-й гармоники потока Фз, находящейся в фазе с наложенной синусоидной 3-й гармоники тока го_з. Как видно из рис. 17,6, форма магнитного потока Ф получается седлообразной.

Третья гармоника потока Ф3 замыкается по сердечнику так же, как и 1-я гармоника Ф1, т. е. по цепи с малым магнитным сопротивлением, поэтому ее амплитуда велика и достигает 15-20% амплитуды Ф1.

Каждая составляющая магнитного потока наводит в обмот-

л

ке Э.Д.С. Ci и ез, отстающие от соответствующих потоков на —

(рис. 17,в). Результирующая э.д.с. е приобретает остроконечную форму; ее амплитуда может превышать амплитуду 1-'й гармоники Ci на 45 - 60%. Однако несмотря на такое искажение фазного напряжения, линейное напряжение остается синусоидальным, поскольку 3-я гармоника в линейном напряжении, как указывалось в § 6, отсутствует.

В трансфсуматорных группах соединение обмоток по схеме звезда — звеЗДа без нулевого провода, как правило, не применяется, поскольку пикообразное повышенное фазное напряжение небезопасно для изоляции трансформатора.

Если бы нейтрали генератора и трансформатора были со-едине11Ы (непосредственно проводником или через «землю»), то необходимый ток 3-й гармоники замыкался через обмотку генератора. В этом случае и поток, и индуктируемые им напряжения были бы синусоидальными.

Явления, происходящие при соединении обмоток по схеме треугольник — звезда или звезда — треугольник, рассмотрены ниже. В трехстержневых трансформаторах при соединении обмотки по схеме звезда — звезда (без нулевого провода) третьи гармоники потока всех фаз, так же как и токи 3-й гармоники, равны между собой и совпадают во времени и, следовательно, все направлены в стержнях трансформатора ,в одну сторону. Поэтому они вынуждены замыкаться, как и потоки рассеяния, по маслу или воздуху и кожуху трансформатора. Вследствие большого магнитного сопротивления их пути 3-я гармоника потока в таких трансформаторах невелика и практически не искажает форму фазной э.д.с. Однако добавочные потери, вызываемые вихревыми токами в металлических частях трансформатора, индуцируемые 3-й гармоникой потока и понижающие к. п. д., ограничивают мощность трехстержневых трансформаторов со схемой соединения обмоток звезда - звезда пределом примерно 2500 кВА.

Соединение хотя бы одной обмотки в треугольник. При соединении обмоток как трансформаторных групп, так и трех-стержневых трансформаторов по схеме треугольник — звезда токи 3-й гармоники замыкаются в треугольнике, вследствие чего рассмотренных выше искажений фазного напряжения не будет.

При соединении обмоток по схеме звезда — треугольник искажений фазных напряжений также не будет. Это объясняется тем, что 3-я гармоника э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора (см. рис. 17, в, где вторичное напряжение 632* пропорционально первичному Сз) создает ток 13,2 в этой обмотке, соединенной треугольником. Так как 632 отстает от потока Ф3

на —, ток 1з_2 отстает от э.д.с. Сз^ также почти на — (благодаря тому что индуктивность обмоток велика), то ток 13 2 оказывается в противофазе с потоком Ф3 и создаваемый им поток уравновешивает поток Ф3.

Вследствие этого форма результирующего потока и, следовательно, фазная Э.Д.С. практически не отличаются от синусоиды.

Итак, независимо от схемы соединений обмоток трехфазного трансформатора (генератора) линейное напряжение при равномерной нагрузке не содержит 3-й гармоники и практически синусоидально, и, следовательно, линейный ток нагрузки т^кже практически синусоидален (при отсутствии в цепи нелинейных сопротивлений). Однако если вторичная обмотка трансформатора (генератора) соединена в звезду и питает даже равномерную по фазам нагрузку, соединенную в звезду, и нулевые точки их соединены нулевым проводом (рис. 18), то в нулевом проводе и в каждом линейном проводе будет протекать ток 3-й гармоники (и ей кратные). Ток в нулевом проводе определится Э.Д.С. 3-й гармоники и сопротивлением нулевого провода для 3-й гармоники и сопротивлением для 3-й гармоники нагрузки фазы Z„.

/0.3 =-• . (50)

Ток 3-й гармоники в каждом линейном проводе

ж ^0, 3

^н,з--

На рис 17,в не показана, чтобы не затемнять график.

Рис. 18. Соединение вторичной обмотки трансформатора Т (обмотки генератора Г) и нагрузки Н в звезду с нулевым проводом N.

Рис. 19. Типичная зависимость тока холостого хода трансформатора от приложенного напряжения.

Если разомкнуть нулевой провод, то между нулевыми точками звезды вторичной обмотки трансформатора (генератора) и нагрузки возникнет напряжение, вызванное присутствием 3-й гармоники и ей кратных:

и.

o,=i/t/7+t^?TtV^

(51)

Все сети напряжением 400 — 600 В, как правило, выполняют четырехпроводными, т. е. с применением нулевого провода. Поэтому при равномерной нагрузке в нулевом проводе всегда протекает ток 3-й гармоники и ей кратных.

Сети 6 — 35 кВ обычно выполняют трехпроводными, т. е. без нулевого провода. У трансформаторов сетей 110 кВ и выше нулевые точки обычно заземляют, что эквивалентно наличию нулевого провода с сопротивлением Zq^ (куда входит сопротивление заземления с двух сторон).

Если напряжение в сети повышается (напримф, в ночное время при небольшой нагрузке), то намагничивающий ток сетевого трансформатора резко возрастает. Это объясняется тем.

что из технико-экономических соображений индукция в сердечнике трансформатора при номинальном напряжении доводится до 1,3 — 1,45 Т, что для электротехнической стали соответствует точке перегиба кривой намагничивания. При дальнейшем повышении напряжения происходит насыщение сердечника и резкое возрастание тока. Типичная зависимость тока холостого хода от напряжения показана на рис. 19, откуда видно, что при повышении напряжения C/j всего на 10% по сравнению с номинальным [/,,„ ток /о,„ возрастает более чем вдвое, достигая значения Ц.

Для сетевых трансформаторов мощностью 750 — 2500 кВ • А ток холостого хода составляет примерно 5% номинального. При повышении напряжения на 10% и более тотс холостого хода увеличивается в несколько раз. При этом возрастают в несколько раз амплитуды гармонических составляющих намагничивающего тока, в частности 5, 7, 11 и 13-й гармоник, что приводит к искажению тока в линии. Таким образом, слабо нагруженные сетевые трансформаторы в ночное время, когда напряжение обычно повышается, могут являться генераторами гармоник, так как при этом резко увеличивается ток холостого хода и становится соизмеримым с током нагрузки.

Вьшоды. 1. При отсутствии нелинейных элементов в сети при несинусоидальном напряжении, содержащем в общем случае гармоники 1, 2, 3-го, и-го порядков, ток будет содержать гармоники тех же порядков. Возникновение гармоник других порядков невозможно.

2. Амплитуда гармоник тока в линейных цепях с повышением номера гармоник пропорционально уменьшается при индуктивном сопротивлении цепи и пропорционально увеличиваются при емкостном сопротивлении (например, конденсаторная батарея). При этом фазные сдвиги токов всех гармоник будут изменяться, вследствие чего форма тока будет всегда отличаться от формы напряжения (за исключением случая чисто активного сопротивления цепи, см. § 7а).

3. Возникновение гармоник в звеньях электропередачи и потребления вызывается нелинейной характеристикой элементов этих звеньев.

4. Типичным нелинейным элементом в звеньях электропередачи является трансформатор.

а) Для однофазного трансформатора при первичном синусоидальном напряжении намагничивающий ток нвсинусоида-лен (имеет пикообразную форму) и содержит резко выраженную 3-ю гармонику. Ток 3-й гармоники протекает по линейным проводам, замыкаясь через источник тока. Вторичная э.д.с.

синусоидальна, однако для сварочных трансформаторов вторичное напряжение при процессе сварки несинусоидально, что обусловливается нелинейной характеристикой электрической дуги и прерывистым процессом сварки.

б) Для трехфазного трансформатора с соединением звезда — звезда с нулевым проводом со стороны питания при синусоидальном напряжении намагничивающие токи несинусоидальны и содержат в основном 3-ю гармонику, но фазные первичные и вторичнйе напряжения синусоидальны. Ток 3-й гармоники протекает по линейным проводам и нулевому проводу (в нулевом проводе протекает суммарный ток 3-й гармоники трех фаз).

в) При соединении обмоток трехфазного трансформатора звезда — звезда без нулевого провода при синусоидальном напряжении питания в намагничивающем токе отсутствуют 3-я гармоника и ей кратные (9, 15, 21-я), причем для трансформаторной группы, составленной из трех однофазных трансформаторов, фазные первичные и вторичные напряжения несинусоидальны (имеют пикообразную форму) и содержат явно выраженную 3-ю гармонику; Для трех-стержневого трансформатора фазные напряжения практически синусоидальны (могут содержать 5, 7тю и т. д гармоники).

г) При соединении обмоток трансформатора треугольник — звезда при синусоидальном напряжении питания по обмоткам треугольника протекает ток 3-й гармоники (составляющая тока намагничивания). Первичные и вторичные фазные напряжения практически синусоидальны (могут содержать 5, 7-ю и т. д. гармоники).

д) При соединении обмоток трансформатора звезда — треугольник при синусоидальном напряжении питания в намагничивающем токе отсутствуют 3-я гармоника и ей кратные, однако фазные первичные и вторичные напряжения практически синусоидальны (могут содержать 5, 7-ю и т. д. гармоники).

5. В линейном напряжении в трехпроводной цепи при симметричном режиме независимо от схемы соединения пфвичной обмотки трехфазного трансформатора всегда отсутствуют 3-я гармоника и ей кратные (9, 15, 21-я и т. д.), следовательно, в линейных токах отсутствуют токи 3-й гармоники и ей кратные.

6. Слабо нагруженные трансформаторы при повыщенном напряжении, например в ночное время, могут являться генераторами гармоник нечетного порядка (кроме 3-й в линейном напряжении).

8. Возникновение гармоник при потреблении электроэнергии

а) Преобразовательные (вентильные) установки

Приемниками электроэнергаи с нелинейными характеристиками являются в первую очередь всевозможные преобразовательные установки переменного тока в постоянный, использующие различные вентили. Сюда относятся выпрямительные установки для железнодорожной тяги, городского электротранспорта, электролиза (производство алюминия, хлора, едкого натра и др.), для питания приводов прокатных станов, для возбуждения генераторов электростанций и др.

В качестве вентилей до последнего времени использовались в основном ртутные выпрямители (неуправляемые и управляемые). В настоящее время широкое применение находят преимущественно кремниевые полупроводниковые выпрямители. Внедряются тиристорные выпрямители.

Обычно выпрямительные установки выполняются большой мощности и присоединяются через специальные трансформаторы к питающей сети на напряжении 6 — 10 кВ. Выпрямительные установки небольшой мощности выполняются по трехфазной схеме с нулевым выводом (рис. 20,а). Коммутация вентилей поясняется графиком (рис. 20,6) и происходит в точках а, б, с, где напряжения соседних фаз сравниваются, и далее напряжение последующей фазы увеличивается, а предыдущей уменьшается. График выпрямленного напряжения (жирная огибающая) построен в предположении отсутствия в цепи сглаживающего пульсации фильтра, при отсутствии сеточного регулирования' и для случая мгновенной коммутации.

Мгновенное выпрямленное напряжение определяется ординатами огибающей кривой и может, как это доказывается в математике, быть представлено тригонометрическим рядом Фурье

^ Щ/^ (у + ^ '^«^ 3cot - ^ cos 6cot + gT^cos 9 cof + ... где £„ — максимальное значение э. д. с.

' В ртутных выпрямителях с сеточным регулированием значение выпрямленного тока может регулироваться «запиранием» очередного анода путем подачи на некоторое время отрицательного потенциала между управляющей сеткой и катодом.

«1. 1.

60' Eg,

Рис. 20. Схемы преобразования трехфазного тока в постоянный. о —трехфоэная схемо с нулевым выводом; 6 — график выпрямленного напряжения схемы с нулевым выводом; в — трехфазная мостовая схема; г —график выпрямленного напряжения трехфазной Постовой схемы; д — схема двух вторичных звезд с уравнительным реактором и нулевым выводом; е~график выпрямленного напряжения схемы с уравнительным реактором и нулевым выводом; ж—■векторная диаграмма шестифазной схемы.

Из приведенного выражения видно преобладание 3-й гармоники, так как коэффициент при члене, определяющем амплитуду 3-й гармоники, наибольший.

Для более мощных выпрямительных установок применяется трехфазная мостовая схема (рис, 20, в), состоящая из двух групп вентилей - катодной и анодной. В.катодной группе (вентили 1, 3 и 5) коммутация вентилей происходит в точках а, Ь, с, где напряжение последующей фазы делается более положительным, а в анодной группе - в точках а,, bi, cj, где напряжение последующей фазы более отрицательно (рис, 20, г). Мгновенное выпрямленное напряжение щ равно арифметической сумме положительной и отрицательной ординат, заключенных между синусоидами смежных фаз (например, отрезок тп на рис. 20, г), и выражается рядом

3£м / 2cos6cot 2cosl2(Bt 2 cos 18 cot \ "■''= — ['^—7---17-19 -^-j'

откуда видно, что преобладающей является 6-я гармоника, однако ее амплитуда почти в 2 раза меньше по сравнению с 3-й гармоникой (схема на рис, 20,а), т. е. пульсации меньше.

Наибольшее распространение для трехфазных выпрямителей получила схема двух вторичных обратных звезд * с уравнительным реактором и нулевым выводом (рис. 20, д). Эта схема, как будет видно ниже, обладает меньшими пульсациями выпрямленного напряжения (по сравнению со схемой на рис: 20, в) и более благоприятна для работы трансформатора.

При отсутствии уравнительного реактора УР (или при очень малой нагрузке при наличии УР) схема превращается в шестифазную, где каждый вентиль работает поочередно

271

и проводит ток в течение времени, соответствующего углу

6

причем коммутация вентилей происходит в точках 1, 3, 5 и tj д. (рис, 20,е). В этом случае содержание гармоник и их амплитуды (пульсации выпрямительного напряжения) такие же, как при схеме на рис, 20, е.

Если в схему введен реактор УР, то при работе соседних по векторной диаграмме (рис. 20, ж) фаз по уравнительному реактору протекают выпрямленные токи, которые уравнивают напряжения этих фаз. Например, если в данный момент напряже-

* У одной звезды в нейтраль Nj соединены концы обмоток (назовем ее «прямой звездой»), у другой в нейтраль TVj соединены начала («обратная звезда»).

а)

Рис. 21. Графики напряжения в реальной схеме выпрямления с уравнительным реактором.

а — фазные напряжения прямой звезды; б — фазные напряжения обратной звезды; в — выпрямленное напряжение и,); г —переменная составляющая Up на уравнительном реакторе.

ние фазы А прямой звезды NjCj больше напряжения фазы С обратной звезды N2C2, то выпрямленный ток фазы А, про-текая по части реактора MN^, понижает напряжение этой фазы относительно точки М и, следовательно, повьпнает относительно этой же точки напряжение фазы С. В результате напряжения соседних фаз обеих звезд выравниваются и оба вентиля работают параллельно на протяжении угла 60°, а каждый вентиль — на протяжении угла 120°. Поэтому коммутация вентилей произойдет не в точках /,3, 5 и т. д., а в точках 2,4, 6 и т. д., т. е. между фазами одной звезды, например между фазами /4 и В прямой звезды (точка 2), между фазами С и А' обратной звезды (точка 4) и т. д. В этом режиме выпрямитель работает как трехфазный параллельно обеими звездами, но пульсация выпрямленного напряжения (т. е. амплитуда гармоник) уменьшается почти вдвое по сравнению с шестифазной схемой или схемой на рис. 20, в (см. жирную кривую на рис. 20,е).

В реальных условиях работа выпрямительной установки с обратными звездами и уравнительным реактором показана на диаграммах рис. 21, где отдельно построены диаграммы Э.Д.с. прямой (рис. 21,а) и обратной (рис. 21,6) звезд, которые следует наложить одну на другую со сдвигом в 60°. Диаграмма построена для некоторого угла регулирования а* и с учетом угла коммутации у, обусловленного длительностью перехода дуги с одного -вентиля на другой и индуктивным сопротивлением рассеяния трансформатора.

На диаграмме по рис. 21, в построен график выпрямленного напряжения щ для данного угла регулирования.

На диаграмме по рис. 21,г показана переменная составляю-шая напряжения на уравнительном реакторе, определенная как разность ординат выпрямленного напряжения прямой и обратной звезд (заштрихованные гшощади). Как видно из диаграммы, эта переменная составляющая имеет тройную частоту и содержит преимущественно 3-ю гармонику. Таким образом, уравнительный реактор является генератором 3-й гармоники.

В целом мощные выпрямительные установки всегда являются генераторами высших гармоник, которые, трансформируясь на первичную сторону питающего трансформатора, проникают в распределительную сеть 6-10 кВ, искажая синусоидальное напряжение сети, особенно когда мощность выпрямительной установки определяет нагрузку данной сети.

* См. сноску на стр. 61.

б) газоразрядные лампы

Для четырехпроводных промышленных и городских сетей 380/220 В источником гармоник в основном является люминесцентное освещение. Люминесцентные лампы, а также мощные дуговые ртутные люминесцентные лампы уличного освещения (типа ДРЛ) имеют нелинейные вольт-амперные характеристики с падающим участком (на котором при увеличении напряжения ток уменьшается). На рис. 22, а показана принципиальная схема включения люминесцентной лампы Л в сети синусоидального напряжения щ последовательно с ограничивающим дросселем Др. На рис. 22,6 приведены графики тока i, протекающего в цепи, и падения напряжения на лампе t^,. В связи с включением в схему дросселя Др, обладающего значительной индуктивностью, между напряжением щ и током i имеется сдвиг фаз ф.

Как видно из графика, форма тока близка к треугольнику, который раскладывается в тригонометрический ряд

. 8/м / . 1 . , 1 . ,

I = —Y~ l^sin (ut—~ sm 3mt + — sm 5mf +

где преобладающей является 3-я гармоника.

Форма падения напряжения на лампе близка к прямоугольной, для которой тригонометрический ряд разложения приводился выше, применительно к форме индукции в зазоре генератора (см. рис 10). Здесь также преобладает 3-я гармоника.

Поскольку люминесцентные лампы обычно включаются на фазное напряжение, то по нулевому проводу всегда протекает суммарный ток 3-й гармоники (и кратных ей) всех включенных ламп. Это объясняется, как было выяснено выше, тем, что токи 3-й гармоники не являются уравновешанной трехфазной системой и между собой совпадают по фазе (токи нулевой последовательности, см. рис. 13).

Генерация гармоник люминесцентным освещением, естественно, происходит в основном в вечернее и ночное время.

в) Сварочные трансформаторы

В дневное время в сетях 400 - 600 В промышленных предприятий источниками гармоник являются однофазные сварочные трансформаторы. Трансформаторы для дуговой сварки в целях поддержания устойчивого горения дуги выполняются с крутопадающей внешней характеристикой ([/ =/ (/)), что достигается увеличением магнитного рассеяния путем введения

Сеть

Рис. 22. Принципиапьная схена включения (а) и графики тока и напряжения (б) люминесцентной ламлы.

Рис. 23. Формирование импульсов в пик-трансформаторе.

Штриховой линией показан поток Ф, который был бы при отсутствии насыщения.

в магнитопровод регулируемого воздушного зазора (изменением зазора регулируется сварочный ток). Наличие воздушного зазора приводит к резкому возрастанию намагничивающего тока, форма которого при синусоидальном напряжении пико-образна, с доминирующей 3-й гармоникой (см., например, рис. 16). Ток 3-й гармоники протекает по линейным проводам, питающим сварочный трансформатор, искажая его вторичное напряжение.

г) Цепи автоматики, управления, телемеханики и релейной защиты

в цепях автоматики, управления, телемеханики и релейной защиты содержится большое количество нелинейных элементов. Преобладающими являются элементы с использованием магнитных цепей: магнитные усилители, стабилизаторы напряжения, умножители и делители частоты, пик-трансформаторы и т. п. Наряду с магнитными элементами широкое применение в этих цепях находят полупроводниковые приборы. Нелинейные элементы приводят к искажению напряжения или тока.

В качестве примера на рис. 23 показано формирование импульсов, вырабатываемых пик-трансформатором для управле-

ния ртутными вентилями Работа пик-трансформатора основана на полном насыщении сердечника в зоне, когда магнитный поток Ф не изменяется (горизонтальные участки кривой) и, следовательно, вторичная э.д.с. не наводится. Когда магнитный поток выходит из зоны насыщения и переходит через нулевое значение, т. е. когда скорость изменения потока наибольщая, во вторичной обмотке наводится импульс э.д с, максимум которого соответствует моменту перехода магнитного потока чфез нуль. Ширина импульса э.д с. у основания определяется степенью насыщения сердечника.

Выводы. 1. При потреблении энергии основными источниками гармоник в цепях 6—10 кВ являются мощные вентильные установки, преобразующие трехфазный пфеменный ток в постоянный для технологических процессов промьпиленности, а также вентильные установки для железнодорожного и городского электрифицированного транспорта.

2. Вентильные установки генерируют гармоники, как нечетные, начиная с 3-й, так и четные, которые, трансформируясь, попадают в питающую сеть 6—10 кВ.

3. В промыщленных и городских сетях 380/220 В источниками гармоник в основном являются газоразрядные лампы и сетевые трансформаторы, а также сварочные трансформаторы, генерирующие главным образом 3-ю гармонику. В нулевом проводе четырехпроводной сети всегда протекает суммарный ток 3-й гармоники всех фаз независимо от распределения нагрузки по фазам.

4. Во вторичных цепях автоматики почти всегда имеются нелинейные элементы (магнитные усилители, пик-трансформаторы, полупроводниковые приборы и др.), искажающие вторичный синусоидальный ток, что необходимо учитывать при производстве измерений в этих цепях (см. § 9—11).

ИЗМЕРЕНИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ 9. Общие соображения при измерении

несинусоидальных токов

При измерениях в цепях с несинусоидальными токами небезразлично, какой системы применять электроизмфительные приборы. Прежде всего необходимо знать, что именно требуется измерить - действующие значения несинусоидального тока или напряжения, среднее или амплитуд-

ное значение или же, например, только основную составляющую спектра несинусоидального периодического тока (напряжения).

Приведем несколько примеров. Если несинусоидальный ток используется для термических целей или для совершения какой-либо работы, то необходимо измерять действующее значение напряжения и тока и активную мощность несинусоидального тока. При измерении вторичного напряжения пик-трансформатора нужно измерять амгшитудное значение импульса, а при измерении пульсирующего напряжения постоянного тока, используемого для электролиза или возбуждения генераторов, среднее значение выпрямленного напряжения, так как количество электричества пропорционально среднему значению тока, а индуцируемое напряжение зависит также от среднего тока возбуждения. Если для построения векторной диаграммы холостого хода трансформатора необходимо знать 1-ю гармонику намагничивающего тока, то необходимо измерить ток только 1-й гармоники и т. д.

Далее необходимо представлять себе (знать) источник гармоники оценить на основании вышеизложенного материала возможный состав гармоник (нечетные, четные, постоянная составляющая, наивысший возможный порядок гармоник). И, наконец, обязательно всегда оценивать необходимую и достаточную точность измерения.

После оценки «что измерять и для чего» производится выбор прибора той или иной системы. Здесь следует отметить, что все электроизмерительные приборы, применяемые при про-мьпнленной частоте, градуируются, как правило, в действующих значениях тока или напряжения синусоидальной формы (то же самое, что и в эффективных или среднеквадратичных значениях) независимо от их системы (т. е. принципа действия). В то же время приборы различных систем по-разному реагируют на несинусоидальный ток, т. е. имеют различную зависимость вращающего момента от формы тока или напряжения, что и является в основном источником погрешности при измерении несинусоидальных токов. ,

Оставляя в стороне вопрос выбора пределов измерения, собственного потребления приборов [3], остановимся на рассмотрении зависимости вращающего момента от формы тока, наиболее распространенных систем переносных приборов.

В энергетике гармоники выше 13гго порядка обычно не рассматриваются. Этой гармонике соответствует частота 13-50 = = 650 Гц. Следовательно, все приборы, применяемые для изме-

рения несинусоидальных токов, должны измерять без погрешности переменный ток с частотой до 650 Гц.

Наибольшее распространение при промьш1ленных измерениях получили переносные приборы переменного тока Следующих систем, электродинамической, электромагнитной, выпрямительной с магнитоэлектрическим измерителем и реже — электростатической и термоэлектрической. Условные обозначения системы приборов, проставляемые на шкале, приведены в приложении. Там же приведены условные обозначения частотой применимости приборов.

10. Зависимость показаний электроизмерительных приборов от формы тока

о) Электродинамическая система

Вращающий момент в приборах этой системы создается взаимодействием элеьстродинамических сил, возникающих между неподвижными и подвижной катушками, обтекаемыми измеряемым током. Уравновешивающий противодействующий момент создается закручиванием спиральной пружины. Мгновенное значение вращающего момента, как это выводится в теории измерительной техники,

AM

где i„ I'i, — мгновенные значения токов в катушках; AM — изменение взаимоиндукции катушек при отклонении подвижной катушки на небольшой угол Аа; к — постоянный коэффициент.

AM

При установившемся положении -= const средний вра-

Аа

щающий момент на оси подвижной катушки определится как среднее значение момента за период измеряемого тока. Если разбить период Т на большое количество п равных очень малых

п

интервалов времени At (причем ]^ At = Г) и для каждого момен-

0

та времени определить элементарную площадку, равную произведению ординат i„ ц на интервал At, то сумма всех площадок будет равна площади синусоиды. Разделив эту площадь на период, мы найдем среднее значение за период, пропорциональное среднему значению вращающего момента.

Если токи синусоидальны, то средний вращающий момент

можно выразить так': к

вр = — Z 1ы,а sin (i>th,,b sin (cor + <p) Ar =

^ 0

= ^ ^^,.a^^,.fc E COS фАГ - ^ COS (2cu£ + ф) At] =

^/cW^^=/c/Acos.p, . (53)

где /„а и (, — максимальные значения токов в катушках прибора я и Ь; <р — угол сдвига фаз между токами;

Г

Е cos (2сй£ -1- ф) At = О

о . ■ •

так как сумма ординат положительной полуволны гармонической кривой за период равна сумме ординат отрицательной полуволны.

Если токи несинусоидальны, то в выражение (52) должны быть подставлены их мгновенные значения, выраженные тригонометрическими рядами (14), ограниченными, например, 13-й гармоникой. После перемножения получим многочленное выражение, слагаемые в котором можно сгруппировать на однотипные, а именно:

а) произведение постоянных составляющих (если они содержатся в несинусоидальных токах), равное Io,Jo,b',

б) произведения членов с синусами, содержащими аргументы одинаковых периодов. Среднее значение за период для каждой гармоники будет равно по (53) klа.Jь.к cos (р^;

в) произведения членов с синусами, содержащими аргументы разных периодов. Как показано было в § 4, все эти члены равны нулю;

г) произведения постоянных составляющих на члены, содержащие синусы, которые также равны нулю, поскольку среднее значение синусоиды за период равно нулю.

Таким образом, в общем случае средний момент вращения прибора электродинамической системы с учетом (53)

Л^вр = (/о. Л./, + ^а. Л. I cos ф1-f-

+ h. ih. 2 cos ф2 + la. 3 COS.фз + - - -), (54)

^ Использована формула sin asin Р [cos(a - Р) - cos(a + р)].

где /о. а, /о, ь — постоянные составляющие токов в катушках а и Ь; „ /fci — действующие значения токов 1-й гармоники, сдвинутых между собой по фазе на угол <Pi ...

Как видно из выражения (54), вращающий момент прибора электродинамической системы не зависит от фазы гармоник относительно друг друга и относительно основной. Выводы справедливы и для случая, когда в измеряемой цепи одновременно протекают синусоидальные токи от разных источников разной частоты. При отсутствии переменной составляющей вращающий момент пропорционален произведению постоянных токов, протекающих по катушкам.

Приборы электродинамической системы выполняются как амперметры, вольтметры и ваттметры. Частотная применяемость их в зависимости от типов ограничивается частотами порядка 1000 — 2000 Гц, т. е. они вполне пригодны для измфе-ния гармоник тока промышленной частоты.

Амперметры и вольтметры. Так как для амперметров = к'1 и = к"1, где к' и к!' — коэффициенты, учитывающие распределение токов в катушках, а для вольтметров обычно I^ = Ii, = I (катушки соединяются последовательно) и, кроме того, сдвиг фаз между токами в катушках практически равен нулю, то вращающий момент амперметра

M^p = k(Il + ll+Il + ll...) = kYli = kl\ . (55)

где

i = ]/il + n + il + il...

Аналогично для вольтметра

Mвp = fc^l/^=Ш^ ' (55а)

1

где U^]/Ul+Ui+Ul + Ul+

т. е. вращающий момент электродинамического амперметра (вольтметра) пропорционален сумме квадратов действующих значений токов (напряжений) всех гармоник, содержащихся в измеряемом несинусоидальном токе (напряжении), включая постоянную составляющую, независимо от их взаимных фазовых сдвигов.

Другими словами, показания электродинамического амперметра (вольтметра) зависят от действующего значения измеряемого тока (напряжения) несинусоидальной формы.

Ваттметры. Для ваттметров могут быть два случая измфе-ния: 1) ток и напряжение несинусоидальной формы; 2) ток несинусоидальной формы, напряжение синусоидально (или наоборот).

Для первого случая, т. е. если и ток, и напряжение несинусоидальны, как это видно из общего выражения (54), при отсутствии постоянной составляющей и учитывая, что 1^ = 1 и Rjt = и, имеем:

13

'MBp = l<^JlhUkCOS(p^, . (56)

1 • ■

т. е. электродинамический ваттметр измеряет сумму активных мощностей всех гармоник тока и напряжения несинусоидальной формы независимо от взаимной фазы гармоник. Во втором случае момент вращения ваттметра

MBp = fc/iC^iCos<p„ (57)

так как все произведения членов с синусами, содержащими аргументы разных периодов, равны нулю.

Отсюда следует, важный вьшод, что в случае, когда ток несинусоидален, а напряжение синусоидально (или наоборот), ваттметр измеряет мощность одной составляющей гармоники, порядок которой соответствует порядку гармоники в цепи напряжения (или тока) ваттметра^.

Все вышеприведенные выводы справедливы и для ферродинамических приборов, имеющих магнитопровод. Однако верхний предел по частоте у этих приборов ниже и они пригодны для измерения несинусоидальных токов, если ограничиваться разложением примерно до 5-й гармоники.

б) Электромагнитная система

Вращающий момент в приборах этой системы создается за счет механического воздействия магнитного потока катушки, обтекаемой измеряемым током, на поворотный сердечник из мягкой стали. Противодействующий момент создается спиральной пружиной.

' Допустим, ток содержит только 1-ю гармонику, а напряжение 1-ю и 3-ю. В этом случае ваттметр покажет мощность, пропорциональную только первым гармоникам.

Мгновенное значение вращающего момента определится выражением '

, AL

»iBp = fc»'—, • (58)

где AL— изменение индуктивности катушки при отклонении подвижного сердечника на небольшой угол Аа. При установив-AL

шемся положении -— = const. Тогда, подсгавлйя в это выраже-Аа

ние момента мгновенное значение несинусоидального тока в форме тригонометрического ряда разложения и производя такие же вычисления, как и для электродинамической системы, найдем, что средний вращающий момент прибора электромагнитной системы за период равен:

Mep^fci^, • (59)

1

где значение / такое же, как и в формуле (55).

Таким образом, электромагнитный амперметр {или вольтметр, так как U = Кд/), так же как и электродинамический приборы, измеряет действующее значение тока (напряжения) несинусоидальной формы нешвисимо от начальных фаз гармоник.

Однако частотный диапазон этих приборов ограничен, так же как и ферродинамических приборов, из-за наличия стального сердечника и большой индуктивности катушки (для вольтметров). Современные амперметры пфсменного тока класса точности 0,5 (например, типов Э513, Э514) имеют номинальную область частот от 40 до 100 Гц и расширенную * до 500—1000 Гц в зависимости от типа приборов. Номинальная область частот вольтметров (например, Э515) составляет 40-60 Гц, а расширенная 200 - 400 Гц.

При отсутствии переменной составляющей вращающий момент пропорционален квадрату постоянной составляющей тока (напряжения). В зависимости от магнитных свойств подвижного сердечника показания электромагнитного прибора на переменном и постоянном токе могут несколько отличаться друг от друга и на постоянном токе будут зависеть от полярности.

Для современных электромагнитных приборов класса точности 0,5 расхождения показаний на постоянном и переменном токе пренебрежимо малы и такие приборы снабжаются знаками Пфсменного и постоянного тока.

' В расширенной области допускается увеличенная погрешность на значение, равное классу точности прибора.

в) Магнитоэлектрическая система со встроенным выпрямителем (выпрямительные или детекторные приборы)

Выпрямительные приборы состоят из выпрямительного устройства, включенного в цепь измеряемого переменного тока, и измерителя магнитоэлектрической системы, измеряющего выпрямленный ток. В качестве выпрямителей применяются полупроводниковые выпрямители, соединенные обычно по схеме двухполупериодного выпрямителя. Шкала выпрямительного прибора, как правило, градуируется в действующих значениях синусоидального тока (напряжения).

Вращающий момент в приборах магнитоэлектрической системы создается механическим взаимодействием тока, протекающего по подвижной катушке (рамке), расположенной между полюсами постоянного магнита, с магнитным потоком в зазоре. Так как обычно в магнитном зазоре магнитное поле ра-диально и равномерно, т. е. индукция постоянна, то мгновенное значение вращающего момента

гпвр - ki, (60)

т. е. момент пропорционален первой степени тока.

При синусоидальном токе мгновенные значения вьшрямлен-ного тока принимают последовательно все значения амплитуды положительной волны синусоиды. В силу инерционности подвижная система прибора (рамка) не успевает следовать всем значениям мгновенного тока и отклоняется на некоторый угол, пропорциональный среднему значению выпрямленного тока за первый полупериод. За второй полупериод при двухполупериодном выпрямлении этот цикл повторяется.

Так как среднее значение ординаты синусоиды за полупериод в общем случае по формуле (9) равно /ф = —^ cos \|/, то

средний момент прибора за период будет пропорционален среднему значениЮ/.^.тока по модулю [см. формулу (10)], т. е. '

Mcp = fc/cpCOS\|/. (61)

При несинусоидальном токе, представленном тригонометрическим рядом разложения (14), средний момент прибора

Рис. 24. Сравнение показаний выпрямительного прибора при разной форме измеряемого тока.

С учетом формулы (9)

г/2

Л^вр = ^[^м, 1 sin (tot + vl/i) + /м, 2 sin (2to( + v|/2).+

+ JM,3sin(3cof+ \1;з)+ ...]At =

= 1 cos+ /ср, 2 cos \1;2 + icp, 3 cos \1/з + ...],

(62)

или

13

A^Bp = fcZ^cp.tCOS\l/^,

(63)

т. е. выпрямительный двухполупериодный прибор измеряет сумму средних значений по модулю всех гармоник периодического тока (напряжения) несинусоидальной формы, причем показания прибора зависят от фазы гармоник относительно основной, т. е. от формы тока (напряжения).

Как указывалось выше, шкала выпрямительных приборов градуируется в действующих значениях синусоидального тока (хотя момент вращения пропорционален среднему значению выпрямительного тока), т. е. градуировка произведена для коэффициента формы кривой тока (13) кф=1,11. Так как для

несинусоидальной кривой коэффициент формы имеет другое значение, то при несинусоидальной форме тока (напряжения) показания выпрямительного прибора будут неверными, т. е. неизбежна погрешность измерения. Так, например, при острой форме измеряемого тока выпрямительный прибор будет показывать меньше и при тупой — больше. В этом легко убедиться, рассматривая, например, три случая формы тока: треугольную, синусоидальную и прямоугольную (меандр), имеющих одну и ту же амплитуду (рис. 24) /„, причем, как видно из таблицы на рис. 24, если коэффициент формы больше fcф> 1,11, то прибор занижает показания, а если /сф < 1,11 — завышает.

г) Выпрямительные приборы со среднекводротичной характеристикой

Эти приборы обычно выполняются как вольтметры и в выпрямительной схеме имеют дополнительную диодную цепочку, дающую возможность заменить линейную зависимость выпрямленного тока на квадратичную, что необходимо для измерения действующих значений тока и напряжения. Это осуществляется путем искусственного создания нелинейной вольт-амперной характеристики, имитирующей параболическую

кривую, для которой v =-, т. е. дающую квадратичную зави-

2р

симость выходной величины х от входной у, где р - постоянный параметр, характеризующий параболу.

Принципиальная схема выпрямительной части прибора со среднеквадратичной характеристикой приведена на рис. 25, а. В верхней части рисунка показана обычная двухполупериодная схема выпрямителя с трансформатором Ти диодами D. В нижней части рисунка изображена диодная цепочка, имитирующая нелинейное сопротивление. Диодная цепочка состоит из ряда диодных ячеек, соединенных последовательно. Каждая ячейка содержит диод, например Д1, и делитель напряжения, образованный двумя резисторами, в нашем примере и Яг-Все делители соединены параллельно и подключены к стабилизированному источнику постоянного тока + и —, причем диоды «заперты» (т. е. не проводят ток) за счет падения напряжения на резисторах с четными индексами. Падения напряжения на этих, резисторах подобраны так, чтобы на каждый последующий диод подавалось запирающее напряжение большей величины, чем на предыдущий.

Рис. 25. Принципиапьная схема выпрямительного еольтметро со среднеквадратичной xopoKmepucmuKOLj (а), формирование квадратичной характеристики выпрямительного вольтметра (6).

формирование вольт-амперной характеристики, имитирующей полупараболу, показано на рис. 25, б.

При измерении периодического напряжения, мгновенное напряжение которого щ в момент, когда падение напряжения на резисторе R2 I/, <и^< C/j, через измеритель протекает ток, достигающий значения I'l и замыкающийся по цепи: трансформатор — диод Д1 — резистор R2 — микроамперметр мкА — трансформатор (рис. 25, о).

При [/г <"х< t/з, кроме тока «\ проходит ток I2. замыкающийся по цепи: источник - Д2 - R4 — мкЛ — источник. При этом через измеритель протекает суммарный ток h = ii + /2-Если С/з < Uj, < С/4, то через прибор течет суммарный ток ij; = = '1 + '2 + '3 и т. д. Чем больше диодных ячеек, тем точнее вольт-амперная характеристика приближается к параболической'.

Вращающий момент таких выпрямительных приборов пропорционален среднему значению квадратов амплитуд мгновенных значений измеряемого периодического напряжения (тока) любой формы, причем градуировка выполняется непосредственно в среднеквадратичных значениях напряжения или тока (с учетом извлечения квадратного корня), т. е.

Mвp = ^cIt^,2 = ш^ (64)

где значение U такое же, как в формуле (55).

Таким образом, выпрямительные приборы со среднеквадратичной характержтикой измеряют действующее значение напряжения (тока) несинусоидальной формы независимо от начальных фаз гармоник.

Обычно такие вольтметры выполняются со встроенным усилителем с линейной характеристикой, дающей возможность измерять и малые напряжения. Например, вольтметр типа ВЗ-20 измеряет напряжение от 2 мВ до 300 В с частотным диапазоном от 50 Гц до 300 кГц.

д) Выпрямительные приборы с амплитудной характеристикой (пиковые вольтметры)

Принципиальная схема пикового вольтметра переменного тока с параллельным включением диода Д и нагрузочного ре-

' Замена кривой отрезками прямых называется кусочно-линейной аппроксимацией.

Рис. 26. Принчипиапьная схема пикового вольтметра с параппепьным включением диода (а), график изменения напряжения на нагрузочном сопротивлении пикового вольтметра (6).

зистора R и с последовательно включенным конденсатором С приведена на рис. 26, а *. Сопротивление резистора R берется большим с тем, чтобы постоянная времени RC была значительно больше периода измеряемого напряжения.

Действие схемы рассмотрим для случая измерения синусоидального напряжения = sin cot. В течение первых нескольких периодов после подключения измеряемого напряжения конденсатор С зарядится почти до напряжения + U^, т. е. (/с~1/м, и это напряжение на конденсаторе при неизменном измеряемом напряжении будет поддерживаться постоянным, так как время разряда конденсатора С на многоомное сопротивление R намного больше времени его заряда. Поэтому конденсатор может быть представлен как источник постоянного напряжения Uc с полярностью, обозначенной на схеме (для данного включения диода). Таким образом, к сопротивлению R при-

* Так называемая схема с «закрытым» входом, не пропускающая постоянную составляющую благодаря вютючению конденсатора.

кладывается алгебраическая сумма синусоидального измеряемого напряжения и постоянного напряжения на конденсаторе [/с ~ t^m- На рис. 26,6 показан график изменения напряжения ur на сопротивлении R (синяя линия), представляющий синусоиду измеряемого напряжения (красная линия), сдвинутую относительно оси времени cof в отрицательную область на величину напряжения на конденсаторе — Uc = = — J7j„ и представляющий однополярное пульсирующее напряжение (кривая и к расположена только по одну сторону от оси времени О).

Как видно из графика, при достижении максимальной положительной амплитуды измеряемого напряжения (при -^) напряжение на нагрузочном резисторе Mr = 0. В этот момент через диод проходит максимальный ток и, поскольку сопротивление диода в прямом направлении пренебрежимо мало, он шунтирует (замыкает накоротко) сопротивление R. При переходе через нуль (при п) ur= — и с- При отрицательном максимуме

^при -yJ^^, как видно из графика, = — Uc+{- С/J ^t; — 2[/„

(так как диод при отрицательной Полуволне не пропускает ток). Среднее значение пульсирующего напряжеш1я на сопротивлении R измеряется магнитоэлектрическим прибором. Оно, как видно из графика, равно напряжению на конденсаторе С/с, т. е. амплитудному значению измеряемого напряжения С/м, что и требуется. (Этот вывод объясняется равенством площадей А и Б, направленных в разные стороны относительно оси О и поэтому взаимно уравновешенных, т. е. не оказывающих влияния на результат измерения.)

Таким образом, измеряется только значение — Uc '^■Utt, как ясно видно на рис. 26,6.

При несинусоидальном напряжении конденсатор С зарядится до наибольшего амплитудного напряжения. При наличии постоянной составляющей конденсатор С получит дополнительный заряд. Однако полярность дополнительной постоянной составляющей на конденсаторе (— Uq) будет противоположна полярности постоянной составляющей на входе диода (+ Uo), в результате чего на сопротивлении R постоянная составляющая будет равна нулю. Величины - t/o и -Ь С/^ на рис. 26 не показаны.

Таким образом, средний вращающий момент пикового вольтметра пропорционален наибольшему амплитудному (пиковому) значению положительной полуволны периодического на-

пряжения и не реагирует на постоянную составляющую, т.е. Мвр = кС/м, (65)

где L/и — максимальная амплитуда положительной полуволны несинусоидального напряжения.

При измерении малых значений напряжения микроамперметр включают через усилитель У с фильтром КфСф.

При измерении импульсного напряжения неизбежна отрицательная погрешность измерения, увеличивающаяся с увеличе-Т

нием скважности Q = —, где Т— период импульсного напряже-

ния и f„ — длительность .импульса. Если известно значение нагрузочного сопротивления R данного вольтметра и г — сопротивление цепи для положительной волны измеряемого напряжения (прямое сопротивление диода и сопротивление измеряемой цепи), то в измерение может быть внесена поправка, равная:

AUm^+^. (66)

Шкала пиковых вольтметров обычно градуируется в действующих значениях синусоидального напряжения. Поэтому показания их в действующих значениях при измерении несину-соидального напряжения неверны, и для определения максимальной амплитуды несинусоидального напряжения необходимо показание вольтметра по шкале умножить на коэффициент У2 = 1,414 или разделить на 0,707.

Если измеряемое несинусоидальное напряжение HecmviMe-трично относительно оси времени (например, см. рис 7), то показание вольтметра будет зависеть от того, как присоединен прибор. Это значит, что при перекрещивании подводимых проводов к вольтметру его показания изменятся.

Амплитудную характеристику имеют вольтметры, например, типов ВЗ-43, В7-17 и др.

е) Электростатическая система

. Вращающий момент электростатического вольтметра возникает за счет воздействия электрического поля, пропорционального измеряемому напряжению, на подвижную обкладку конденсатора. Мгновенное значение вращающего момента

где и — мгновенное значение напряжения, приложенного к обкладкам конденсатора; С — емкость конденсатора в зависимости от угла а поворота подвижной обкладки.

Для установившегося положения —— = const и по аналогии

Да

с электродинамической системой для обшего случая, когда измеряемое напряжение содержит любые гармоники и постоянную составляющую, средний вращающий момент

13

M„p = /cEt/', (68)

1

т. е. вольтметр электростатической системы измеряет действующее (а не амплитудное) значение напряжения любой сложной формы периодического тока независимо от начальных фаз гармоник, включая постоянную составляющую. Показания прибора правильны и при измерении напряжения постоянного тока. Электростатические вольтметры пригодны для широкой области частот (вплоть до мегагерц), однако широкое применение их, особенно в полевых условиях, ограничено малым вращающим моментом и, как следствие, нетранспортабельностью. В последнее время распространение получили многокамерные электростатические вольтметры с относительно большей емкостью с предварительным линейным усилителем, обладающие надежными эксплуатационными характеристиками и дающие возможность измерения малых напряжений. Например, вольтметр типа Ф534 имеет пределы измерения от 0,3 до 300 В с частотным диапазоном 40—20 ООО Гц.

ж) Термоэпектрические приборы

Термоэлектрические приборы состоят из термоэлемента обычно вакуумного и магнитоэлектрического измерителя, измеряющего термо-э.д.с. термопары, возникающую от нагрева нити накала измеряемым током. Эти приборы не нашли широкого применения в наладочной практике из-за небольшой перегрузочной способности вакуумных термоэлементов, хотя их показания правильны в широком диапазоне частот и не зависят от формы измеряемого тока.

Вакуумные термоэлементы с изолированной термопарой пригодны для измерения токов сложной формы, включающих и постоянную составляющую. Термоэлементы с не изолированной от нагревателя термопарой для измерения постоянного тока непригодны.

11. Особенности измерения несинусоидальных токов при наладочных и эксплуатационных работах

Измерения, производимые в цепях с несинусоидальными токами, условно можно разделить на две категории: измерения, производимые при наладке и испытаниях электрооборудования в электроустановках, и измерения, связанные с исследованием несинусоидальных токов в электросетях.

При наладочных работах в цепях переменного тока большей частью приходится измерять напряжение, ток, мошность, фазу.

а) Измерение напряжения

Измерение напряжения производится в первичных цепях обычно посредством измерительных трансформаторов напряжения, в цепях вторичной коммутации и в цепях автоматики — непосредственно вольтметром.

Как отмечалось выше, в энергетике ограничиваются рассмотрением гармоник не выше 13-й, для которой /13 = 650 Гц. Для трансформатора напряжения вторичная э.д.с. основной частоты равна:

£,= 4,44/1 w^sBm.

Так как число витков обмотки и сечение сердечника трансформатора S постоянны, то при неизменной э.д.с. £2 с увеличением частоты / значение индукции в сердечнике Вм уменьшается и, следовательно, для гармонических составляю-ших сердечник всегда не насыщен и трансформация составляющих гармоник напряжения не искажается (емкостью между обмотками трансформатора для частот до 650 Гц можно пренебречь). Применяя вольтметр электродинамической системы, мы всегда измеряем действующее значение несинусоидального напряжения, отсчитанное непосредственно по шкале прибора (с учетом коэффициента трансформации трансформатора напряжения).

Если при измерении ограничиться гармониками не выше 5-й или 7-й, то может быть применен вольтметр электромагнитной системы, также измеряющий действующее значение не-.синусоидального напряжения по формуле (59).

Большое распространение получили выпрямительные вольтметры, обычно выполняемые как вольт-амперметры с широким диапазоном измерений. Эти вольтметры всегда градуируются в действующих значениях синусоидального напряжения и тока, но показания их пропорциональны среднему значению по модулю синусоидального напряжения (тока) по формуле (10). Отличительной особенностью этих вольтметров является практически равномерная шкала (за исключением самой начальной части). Показания таких вольтметров при измерении действующего значения несинусоидального напряжения всегда будут неверны. Однако среднее значение синусоидального или несинусоидального напряжения по показанию вольтметра (С^изм) может быть определено по выражению

t^cp|=-^ = 0,9[/„3M, (70)

так как коэффициент формы синусоидального напряжения, при котором градуировался вольтметр, равен 1,11 по формуле (13). Тогда, если известен коэффициент формы измеряемого несинусоидального напряжения кф, действующее значение измеряемого напряжения может быть найдено из отношения

[/ = 0,9Лф[/„зм. (71)

Выпрямительные вольтметры со среднеквадратичной характеристикой обычно имеют квадратичный характер шкалы. Они непосредственно измеряют действующее значение напряжения несинусоидальной формы.

Гармоники обычно обнаруживаются во вторичных цепях, цепях управления и автоматики электроустановок, связанных с мощными выпрямителями, например, генераторов электростанций с вентильной системой возбуждения, электротяговых подстанций, электролизных цехов, приводов прокатных станов и т. д.

При измерениях напряжения в цепях вторичной коммутации обычно измеряется действующее значение несинусоидального напряжения. Однако в цепях автоматики и релейной защиты иногда приходится измерять среднее значение напряжения и амплитудное в зависимости от того, на какое напряжение реагирует тот или иной орган устройств автоматики. Так, например, некоторые типы автоматических регуляторов напряжения, применяемые в электросетях, реагируют на амплитудное значение напряжения. В этом случае должен применяться пиковый вольтметр, показания которого должны быть умножены на коэффициент амплитуды синусоидального напряжения (6). Это

необходимо, так как градуировка пикового вольтметра производится обычно в действующих значениях синусоидального напряжения. Тогда пиковое (наибольшее амплитудное) значение будет равно:

С/м=1,4Ш„зм,

где С/изм — показание пикового вольтметра в действующих значениях.

При этом всегда надо оценить несинусоидальностъ измеряемого напряжения, измерив то же напряжение электродинамическим вольтметром, т. е. определить его действующее значение. Если полученный коэффициент амплитуды

-^^1,41 или L/„3M^J7,

где С/изм—показание пикового вольтметра по шкале в действующих значениях и U — показание электродинамического вольтметра, то измеряемое напряжение несинусоидально.

При измерении амплитуды импульса пик-трансформаторов, применяемых, например, при регулировании выпрямительного напряжения ртутных выпрямителей, обязательно должен применяться пиковый вольтметр. При большой скважности кривой необходимо вносить поправку к показаниям прибора по формуле (66) и не забывать умножить показания прибора на коэффициент амплитуды 1,41.

Если исследуемый орган устройства автоматики реагирует на среднее значение напряжения, что обычно имеет место в устройствах, выполненных на полупроводниках, то измерение должно производиться детекторным (выпрямительным) вольтметром с равномерной шкалой. При синусоидальной или несинусоидальной форме напряжения среднее значение измеряемого напряжения определяется по выражению (70)

|j^cp|=0,9L/„3M,

где L/изм — показание вольтметра по шкале в действующих значениях.

Наладчикам релейной защиты и автоматики надо помнить, что Э.Д.С. вторичной обмотки трансформатора тока при протекании в первичной цепи синусоидального тока всегда несинусоидальна и по форме приближается к треугольной (рис. 27). Если это напряжение необходимо измерить, то надо применить вольтметр, измеряющий действующие значения.

При измерении напряжения переменного тока, содержащего гармоники, во вторичных цепях автоматики релейной защиты

Рис. 27. Форма напряжения во вторичной обмотке трансформатора тока. ф = f((i)t) — кривая намогничивания сердечнико трансформатора тока; Ф — магнитный поток; i — синусоидальный ток; е — э. д. с. вторичной обмотки трансформатора тока. Способ построения кривых по точкам аналогичен способу построения кривых на рис. 15 и 16. В данном случае, исходя из изменений тока I, по точкам 1—6 построена кривая изменений магнитного потока Ф, а затем, исходя из изменений Ф, построена кривая э. д. с. е. Сдвиг фаз между магнитным потоком и э. д. с. равен и/2.

часто приходится учитывать внутреннее сопротивление вольтметра. Это, например, необходимо при измерениях в относительно высокоомных цепях, с тем чтобы подключение вольтметра к схеме не нарушало режим работы исследуемого элемента. Обычно достаточно, чтобы внутреннее сопротивление вольтметра превышало сопротивление цепи, где производится измерение, не менее чем в 100 раз.

Так как электродинамические вольтметры, особенно на малые пределы измерения, имеют относительно малое внутреннее сопротивление, то при измерении несинусоидального напряжения могут быть применены электронные вольтметры, измеряющие действующие значения, имеющие большое входное сопротивление. Так, например, многопредельный милливольтметр-вольтметр типа Ф534 (или милливольтметр-миллиамперметр Ф563) с линейным усилителем и с электростатическим измерителем на выходе при измерении малых напряжений (пределы измерений 0,3 В) имеет входное сопротивление порядка 10 МОм.

Применение детекторных вольтметров с линейной шкалой при измерении несинусоидального напряжения недопустимо.

б) Измерение тока

Измерение тока несинусоидальной формы, так же как и при измерении напряжения, производится прибором электродинамической системы, показания которого пропорциональны действующему значению тока сложной формы. Может быть применен также амперметр электромагнитной системы. Частотная область применения амперметров электродинамической и электромагнитной систем по сравнению с вольтметрами той же системы обычно более щирокая.

Применение детекторных амперметров при измерении несинусоидального тока недопустимо.

При косвенных измерениях несинусоидального тока в первичной цепи амперметр включается через трансформатор тока. Так как в рабочем режиме (при замкнутой вторичной обмотке на малое сопротивление) сердечник трансформатора тока для 1-й гармоники не насыщен, то трансформация высших гармонических составляющих (до 650 Гц) происходит без искажений.

При измерении тока и напряжения во вторичных цепях надо знать, какое значение тока необходимо измерить — действующее или среднее и применять приборы соответствующей системы.

При включении в цепь бывает важно произвести измерение без нарущения токораспределения в параллельных и связанных • цепях, которое может быть внесено в схему внутренним сопротивлением миллиамперметра. Так как сопротивление миллиамперметров электродинамической системы, а также электромагнитной относительно велико, в ряде случаев приходится применять электронные миллиамперметры, измеряющие действующее значение с линейным усилителем и электростатическим прибором на выходе (например, типа Ф533 или Ф563). Эти приборы имеют малое внутреннее сопротивление.

Так, например, вольтмиллиамперметры типа Ф563 при измерении тока имеют падение напряжения на зажимах всего 40 мВ. Следовательно, его внутреннее сопротивление, напри-

40

мер, на пределе 30 мА составляет Квн=-т^~ 1,3 Ом. .

в) Измерение мощности в трехфазных и однофазных цепях

Измерение мощности несинусоидального тока производится ваттметром электродинамической системы. Больщинство ваттметров имеет номинальную область частот в пределах

л.

PZ

Рис. 28. Схема двух ваттметров для измерения мощности в трехфазных трехпроводных цепях.

Г — генератор, мощность которого измеряется; Н — нагрузка: ТТ — трансформаторы тока; Ш —трансформаторы напряжения; PJ — рубильник для закорачивания токовых цепей; Р2 — рубильник для отключения цепей напряжения приборов; А, и Лз — амперметры; V^j и Vg^ — вольтметры; W, и —ваттметры; П — предохранитель.

40 - 60 Гц и расширенную — до 500 Гц. Однако некоторые типы ваттметров рассчитаны на достаточно широкую рабочую область частот. Например, ваттметры типов Д566, Д580 класса точности 0,2 имеют рабочую область частот 45 — 500 Гц. Наиболее распространенные контрольные ваттметры ферродина-мической системы класса точности 0,5 типа Д5004 имеют рабочую область частот 45 — 65 Гц и расширенную 65 — 500 Гц (т. е. при измерении в расширенной области частот допускается увеличение погрешности измерения мощности на величину класса точности, что в большинстве случаев может быть допущено).

При измерении мощности трехфазного тока в трехпроводных сетях (без нулевого провода) обычно применяется схема двух ваттметров (схема Арона), приводимая на рис. 28 применительно к случаю измерения мощности на первичной сто оне, т. е. при помощи измерительных трансформаторов то-

ка и напряжения. Как было показано выше, в линейных напряжениях 3-я гармоника отсутствует, поэтому ваттметры будут измерять суммарную мошность всех составляющих гармоник, кроме 3-й:

13

P = Pi + P2 = U\I'i cos ф'1 + WkCOS(p^ + U'lr'i cos9i -i-

5

13 13 (72)

, Y.Uuncos<pl+ [/'/'/V'coscp'," + IWcos9'r, 5 5

где Pi, P2 - мощность, измеряемая первым и вторым W2 ваттметрами. В формуле (72) штрихами обозначены: одним — 1-я, двумя — 2-я и тремя — 3-я фазы.

Так как гармоники 5-я и 11-я имеют обратную последовательность [см. формулу (45)], то момент, создаваемый этими составляющими, будет противоположен моменту основной частоты источника энергии и, следовательно, мощность этих гармоник будет вычитаться из общей измеренной мощности. Если . же гармоники генерируются приемником электроэнергии, то при измерении мощности из общей измеряемой мощности будут вычитаться мощности 7-й и 13-й гармоник, а мощности гармоник 5-й и 11-й будут суммироваться.

Часто измерение мощности производится при питании приемника электроэнергии практически синусоидальным напряжением, например, от мощной энергосистемы, а приемник генерирует токи высших гармоник. В этом случае согласно формуле (57) ваттметры будут измерять только мощность основной частоты, т. е.

Р = Pi -1- Р2 = C/'i/'i cos' ф1 -1- и'{Г[ cos" ф1 -1-

-I-иТ/Г cos'" ф1. (73)

При измерении мощности в трехфазной четырехпроводной сети (например, 380/220 В) всегда применяется схема трех ваттметров, показанная на рис. 29, где каждый ваттметр своей цепью напряжения присоединен к фазному напряжению. Напряжение обычно измеряется непосредственно, а ток - или непосредственно, или же через трансформаторы тока.

Так как в этом случае по проводам протекают также токи и 3-й гармоники, то каждый ваттметр замеряет суммарную мощность всех составляющих гармоник каждой фазы. Таким образом, измеряемая мощность

= Л +/'2 + = I C/Ji/Ji cos'ф,-Ь

Рис. 29. Схеме трех воттметров для измерения MoujHocmu в трехфазных четырехпроводных цепях.

ГТ1 — ТТ3— трансформаторы тока; А.(—A3 — амперметры; V.1—V3 — вольтметры; Wi — W3 — ваттметры.

13

+ ^ Uincos"<Pk + I U'L'I'L'COS-"<р„

(74)

где Pi, Р2 и Р3 — мощности, измеряемые каждым ваттметром.

Как известно, направление отклонения стрелки ваттметра (знак момента вращения) зависит от знака со8ф. При отрицательном значении созф, т. е. в пределах углов от 90 до 270°, момент ваттметра отрицателен. Это имеет место при изменении направления передачи энергии. Поэтому, если некоторые гармоники генерируются приемником электроэнергии, моменты вращения, создаваемые гармониками, будут отрицательны и мощность этих гармоник будет вычитаться из общей измеряемой мощности.

Измерение мощности однофазного приемника покажем на примере измерения мощности холостого хода однофазного трансформатора, например сварочного. В этом случае при синусоидальном напряжении питания намагничивающий ток и, еле-

довательно, ток холостого хода несинусоидальны и содержат явно выраженную 3-ю гармонику (см. рис. 16, 17, а). Этот ток /, x протекает и по питающим проводам. При этом э.д.с. трансформатора синусоидальна. Мощность, измеренная ват-метром, будет равна по выражению (57) в этом случае мощности 1-й гармоники (основной частоты), так как напряжение Ui синусоидально:

^i.x = 7i,xLfi cos9j,,.

Электродинамический амперметр при этом измерит действующее значение несинусоидального тока /„причем 1^>1^^. Поэтому коэффициент мощности холостого хода, определяемый выражением

cos9, = ^, (75)

будет занижен (так как Pi_^< PJ.

г) Измерение электроэнергии индукционными счетчиками

в заключение оценим поведение трехфазного индукционного счетчика в трехпроводной цепи при учете электроэнергии при наличии в сети гармоник. Эти счетчики имеют две измерительные системы, включенные по схеме Арона и воздействующие на общую ось, на которой алгебраически суммируются моменты, создаваемые каждой системой. Поэтому, так же как и для схемы двух ваттметров, для случая, когда питание приемника электроэнергии производится несинусоидальным током, 3-я гармоника не учитывается, так как ее нет в междуфазном напряжении, 5-я и 11-я гармоники (обратной последовательности) будут создавать отрицательный вращающий момент и, следовательно, вычитаться из общего момента на оси счетчика.

Если же приемник электроэнергии .является генератором гармоник, то отрицательный момент будут создавать 7-я и 13-я гармоники. При этом надо учитывать следующее.

Вращающий момент индукционного счетчика

Л^ = 'с/Фм,/Фм,[/8ш11;, (76)

где Фм Фмд, — рабочие магнитные потоки токовой цепи и цепи напряжения;/- частота сети и ф - угол сдвига фаз между рабочими потоками, при промышленной частоте равный 90°.

Если счетчик промышленной частоты включить в сеть с номинальными напряжениями, но частотой у • 50 Гц, где у — номер гармоники, то рабочие потоки уменьшатся и фазовый сдвиг между ними изменится и не будет равен 90". При этом уменьшение Фм,[/ будет приблизительно обратно пропорционально частоте, так как э.д.с индуктированная в обмотке напряжения счетчика, связана с потоком и частотой тока выражением Е = = 4,44vv/Фм,и, где при £ = const произведение /Фм,1/ = const и при увеличении частоты поток уменьшается.

Фазовый угол в цепи напряжения изменится за счет возрастания активных потерь в сердечнике счетчика при повышенной частоте. Уменьшение Фм,/ при номинальном токе будет незначительным за счет увеличения магнитного сопротивления цепи. Этим же обусловливается и изменение фазы Фм,/-

Таким образом, при номинальном напряжении и токе, но при более высокой частоте электросчетчик, предназначенный для промышленной частоты, будет иметь отрицательную погрешность за счет уменьшения рабочих потоков и изменения внутреннего угла сдвига между потоками.

Однако гармоники напряжения и тока в сети никогда не достигают номинальных значений, обозначенных на щитке счетчика. Так, например, амплитуда 5-й гармоники, как было показано выше (§ 6а, § 86), при треугольной форме кривой напряжения

и тока (при активной нагрузке) составляет примерно —— и„,1,

а при прямоугольной форме примерно — {/„д (3-я гармоника

в линейном напряжении отсутствует и счетчиком не учитывается). Поэтому при измерении энергии гармонических составляющих возникает погрешность обычно положительная, вызванная значительно меньшим напряжением гармоник против номинального напряжения счетчика. Это объясняется тем, что поток Фм,|у приблизительно пропорционален приложенному напряжению, вследствие чего вращающий момент уменьшается в первой степени, а тормозной момент, возникающий при пересечении диском счетчика потока Ф1;, равный М^^^^ = кФ}]П, уменьшается пропорционально квадрату потока.

Учтем также, что при индуктивной нагрузке амплитуда тока гармоник уменьшается обратно пропорционально номеру гармоники (см. рис. 14,6), т. е. с увеличением частоты Фм,/ уменьшается непропорционально Фм,ю-

В результате измерение энергии составляюших гармоник будет производиться с погрешностью, знак которой будет зависеть от того, какая составляюшая погрешности превалирует - от по-

вышенной частоты (номера гармоники) или от пониженного напряжения гармоники.

Так как составляющие активной мощности гармоник обычно малы, то общая погрещность учета счетчика при несинусоидальном токе вряд ли будет значительной и в большинстве случаев может не превышать допустимой для класса точности счетчика.

Исключение может быть для случая, когда на какой-либо гармонике в сети возникает резонанс токов или напряжений, что обычно не допускается.

Если потребитель, имеющий нелинейную нагрузку, питается от мощной энергосистемы, для которой напряжение практически синусоидально (к^ ^ 5%), то согласно (57) счетчик, представляющий ваттметровую систему, будет учитывать только энергию основной частоты (1-я гармоники).

12. Исследование несинусоидальных токов

При исследовании несинусоидальных токов измерения обычно сводятся к определению коэффициентов, характеризующих несинусоидальную кривую Эти измерения могут быть разовыми по показаниям приборов или же регистрироваться пишущими приборами за какой-то период времени (сутки, неделя). В ряде случаев необходимы измерения, дающие возможность определить состав гармоник исследуемой кривой, а иногда и их фазовые сдвиги.

а) Определение коэффициентов, характеризующих несинусоидальное напряжение (ток)

Основные коэффициенты по формулам (35) исследуемой кривой напряжения могут быть определены при помощи трех вольтметров, один из которых должен быть амплитудным (§ 10, д), второй - электродинамическим (§10, а) и третий - выпрямительным (§ 10, в). Исследуемое напряжение измеряется одновременно этими тремя вольтметрами. Если показания амплитудного вольтметра, градуированного в действующих значениях синусоидального напряжения, Ui, электродинамического U2 и детекторного, также градуированного в действующих значениях синусоидального напряжения U^, то коэффициенты будут равны:

коэффициент амплитуды

'^а = -^; (77)

коэффициент формы и 2 _ 1,1

коэффициент феднего значения (по модулю)

0,9^3 0.637С/3 /Сср,мод- j^^jj^^--(79)

где Ui; t/2 и t/з - показания вольтметров по шкале, градуированной в действующих значениях синусоидального напряжения.

Пример 6. Для определения несинусоидальности напряжения сети измерено фазное напряжение трансформатора напряжения одновременно тремя вольтметрами, при этом показания амплитудного вольтметра (типа ВЗ-43) Ui ^ 76 В, показания электродинамического (типа Д566) и2 = 61 В и показания выпрямительного (типа Ц4311) [/3 = 59,5 В. Тогда по формулам (77), (78) и (79):

1,41-76 1,11-61

fc„ = --^=l,76; fc^ = ___=U4;

0,637-59,5

'^ ср, мод7g ~ ■

Для синусоиды эти коэффициенты соответственно равны: 1,41; 1,11; 0,637. Следовательно, измеренное напряжение отличается от синусои-да.аьного.

6) Измерение коэффициента гармоник (коэффициента нелинейных искажений)

Для этой цели применяются специальные приборы, например измеритель нелинейных искажений типов С6-1А, С6-5 с пределами измерения kf = 0,l -г 100%. Погрешность измерения ложит в пределах 5 — 8%. В этих приборах низший частотный диапазон лежит в пределах от 20 до 20000 Гц. Приборы построены по принципу подавления основной частоты при помощи заграждающего фильтра. Блок-схема прибора показана на рис. 30. В качестве такого фильтра применен мостовой JRC-фильтр (мост Вина), для которого частота подавления

Рис. 30. Блок-схемо измерителя коэффичиента гормоник. ВУ — входное устройство; У — усилитель; ЗФ — заграждающий фильтр; УГ — усилитель гармоник; УИК — усилитель и измерительное устройство квадратичного вольтметра; И — измерительный прибор (среднеквадратичный вольтметр).

определяется условиями

/=—^-— и i?i = 2R,. ■' 2nRC * ^

На выходе фильтра через усилитель гармоник включен среднеквадратичный вольтметр И (рис. 25), измеряющий действующее значение всех гармоник, кроме основной. Сначала измеряют исследуемое напряжение через фильтр [перемычка И — П (рис. 30)], затем перемычкой соединяют выводы П — К и, измеряя тем же вольтметром помимо фильтра исследуемое напряжение, находят отнощения

и

Так как коэффициент гармоник по формуле (35)

13

то

к;

Рис. 31. Дифференцирующая цепочка на входе электронно-лучевого осциппоскопа.

Шкала выходного вольтметра ^градуируется непосредственно в процентах коэффициента kj^. Перед началом измерений устанавливают стрелку измерителя на контрольную отметку при измерении исследуемого напряясения.

При небольших значениях (ку < 10%) коэффициенты к^ и ку отличаются друг от друга не более чем на 1%; при больших значениях необходимо вносить поправку по формуле .(80).

Прибор требует питания от сети переменного тока и довольно тяжел (24 кг). Приборы типа анализаторов спектра частот, например типов С5-3, С4-48, дают возможность определения частот составляющих гармоник и селективного (избирательного) измерения их напряжения. Работают они по принципу супергетеродинного приемника. Частотный диапазон их 10—20000 Гц. По данным измерения может быть вычислен коэф/|ициент гармоник к^, а также коэффициент искажения к^ по й)ормуле (35).

Диализаторы несинусоидальности промышленного тока дают возможность регистрации результатов измерения при помощи самопишущего микроамперметра. Однако все эти приборы не дают возможности определения фазовых характеристик составляющих гармоник. Полный анализ несинусоидальной кривой тока или напряжения может быть произведен графоаналитическим мегодом при помощи светолучевого осциллографа.

Необходимо отметить, что во всех случаях измерений в цепях с несинусоидальными токами очень полезно иметь порта-

тивный электронно-лучевой осциллоскоп (например, типа ЛО-70). Это всегда дает возможность визуально оценить степень несинусоидальной кривой, что поможет в выборе измерительных приборов.

Как уже отмечалось, на экране осциллографа искажения синусоиды, меньшие 5%, зрительно не различаются. Однако если на вход осциллоскопа включить так называемую «дифференцирующую цепочку», состоящую из последовательно включенного конденсатора С и параллельного сопротивления R, как указано на схеме рис. 31, то гармоники, если они имеются, будут выявлены. Так, если емкостное сопротивление конденсатора для 50 Гц взять в 10 раз большим сопротивления R, т. е. 10*

-^ 10К, то амплитуда 2-й гармоники увеличится примерно

, ©С

в 2 раза, 3-й гармоники - в 3 раза и т.. д. Если, например, взять К = 100000 Ом, то емкость конденсатора будет равна:

^=1о^ = ^'^^'^^*^-

в) Графоаналитический анализ несинусоидального тока

При помощи светолучевого осциллографа можно провести гармонический анализ несинусоидального напряжения или тока, т. е. по заснятой осциллограмме определить состав и порядок гармонических составляющих, их амплитуду и действующие значения и при необходимости фазу по отношению к исследуемой кривой или к основной частоте. Могут быть также определены амплитудное и действующее значения несинусоидальной величины, а также коэффициенты амплитуды к^, формы /Сф, искажений к^ и другие несинусоидальной функции

по формуле (35)

Все перечисленные величины могут быть получены после соответствующей обработки осциллограммы, описанной ниже.

Так как в сетях промьш1ленной частоты обычно ограничиваются рассмотрением гармонических составляющих не выше 13-го порядка, чему соответствует 50-13 = 650 Гц, то осцилло-графический гальванометр следует выбирать с собственной (резонансной) частотой примерно не ниже 1500 Гц. При осцилло-графировании напряжения последовательно с гальванометром включается регулируемое добавочное сопротивление, рассчитан-

ное на значение исследуемого напряжения, например сетевого или от трансформаторов напряжения.

При установившемся режиме удобнее применять барабанную кассету, допускающую большую скорость, необходимую для «растяжки» осциллограммы по оси времени.

Наблюдая на матовом стекле осциллографа за отклонением светового луча, изменением значений добавочного сопротивления, устанавливают максимально возможное отклонение луча от нулевой линии и, регулируя скорость электродвигателя привода барабана, необходимый масштаб по оси времени.

Так как в сетях переменного тока, как указывалось выше, отсутствуют постоянная составляющая и обычно четные гармоники, то исследуемая кривая, как правило, симметрична относительно оси времени, вследствие чего нулевая линия осциллограммы может быть смещена к одной стороне фотобумаги (барабана) и оспиллографируется лишь один полупериод. Необходимо помнить, что чем больше размеры заснятой кривой, тем более удобно ее обрабатывать и тем больше точность обработки.

При осциллографировании тока гальванометр включается совместно с регулируемым шунтом и, если необходимо, через промежуточный трансформатор тока (или через трансформаторы тока данного присоединения электроустановки), строго соблюдая требования безопасности. Необходимый размах светового луча устанавливается путем соответствующего шунтирования гальванометра.

При осциллографировании напряжения или тока обязательно должен быть установлен масштаб амплитуды отклонения светового луча на фотобумаге. Если используемый гальванометр имеет градуировку [например, 21 = /(7с), где 21 - длина отклонения светового луча в обе стороны от нулевой линии, мм, а 1с — ток гальванометра, мА], то масштаб может быть вычислен для напряжения, исходя из значений добавочного сопротивления и коэффициента трансформации трансформатора напряжения, и для тока, исходя из коэффициента шунтирования гальванометра и коэффициента трансформатора тока.

Вместо светолучевого осциллографа может быть применен электронно-лучевой осциллоскоп. В этом случае изображение исследуемой кривой (полупериод) аккуратно копируют с экрана карандашом на кальку и четко фиксируют нулевую линию.

Однако всегда рекоменд:о?ются для надежности определения масштаба осциллограммы и обязательно при отсутствии градуировки гальванометра (или при использовании электроннолучевого осциллоскопа) одновременно с осциллографирова-

Рис. 32. Разложение несинусоидапьной кривой на гармоники.

нием измерять исследуемое напряжение или ток вольтметром или амперметром электродинамической системы класса 0,5 —1,0.

Порядок обработки осциллограммы несложен, но требует некоторого времени, затрата которого окупается полученными результатами. Рассмотрим проведение гармонического анализа на примере.

На рис. 32 изображена снятая осциллограмма полупериода фазного напряжения трехфазного трансформатора напряжения электроустановки. Измеренное при этом действующее значение напряжения (7 = 61 В. Исследование ограничим разложением до 7-й гармоники

Разбиваем длину полупериода (соответствующую л или в угловом исчислении 180°) на и равных частей, например на 24 (для периода это соответствует 2и = 48; при более приближенных расчетах можно принимать 2п == 24 или даже 2и = 18).

Измеряем через каждый промежуток и соответствующие ординаты / в мм. Далее вычисляем амплитуды синусной составляющей ряда (15) -е- (19) для каждой (к-й) гармоники по формуле

2 . "

^t = —T/sinfea.

(81)

■ ' На рис. 32 7-я гармоника не показана, так как в результате анализа выяснится, что в исследуемой кривой она отсутствует.

Так как значение суммы ]^/sin/ca за первый полупериод равно значению суммы Y^lsinka за второй полупериод, то

2 2" 4 24

еА1 = 2— У /sin ка = — У /sin ка. '(82)

Это подтверждает возможность обработки одного полупериода. ■

У Аналогично амплитуда косинусной составляющей ряда

4 24

Л'^ = —X'cos/ca. (83)

и 1

Тогда амплитуда к-й гармоники в сршусном ряду будет равна:

A, = ViALr+(А1Т . (84)

и ее угловой сдвиг по отношению к исследуемой кривой определится как

tga,=^, ■ • : . (85)

причем знак углов зависит от знаков А\, и А'^.

При построении синусоид гармоник в общем графике необходимо помнить, что масштаб оси времени (углов) для /с-й гармоники должен быть в к раз большим, чем для 1-й гармоники, так как период в к раз меньше.

Значения sin ка. и cos /са для 1, 3, 5 и 7-й гармоник при разбивке полупериода на 24 равные части для каждого значения ординаты приведены в табл. 3*. Эти значения пригодны для любой симметричной относительно оси времени периодической несинусоидальной функции и могут быть использованы при любых гармонических анализах. При разбивке полупериода на 12 частей соответствующие значения sinfca и cosfca берутся через одно значение (например, для четных значений ординат).

В табл. 3 правые два столбца использованы для нашего примера, где приведены значения ординат и их квадратов исследуемой кривой напряжения (рис. 32).

* В таблице углы, большие 360°, приведены к углам, лежащим в пределах О - 360°, по формулам sin (360° и + а) = sin а и cos(360°n + + а) = cos а.

Графоаналитический анализ несинусоидальнон кривой

Таблица 3

Z1219

Пример 7. Определим амплитуду и фазу 1-й гармоники по отношению к исследуемой кривой напряжения по формулам (82) и (83):

Ai = -у (110,131 + 210,259 + 30-0,383 + 39-0,5 -1- 46-0,609 +

+ 50 0,707 + 51 0,793 + 47-0,866-1-46-0^124 + 48 0,966 + 540,991 + 63 х X 1 + 77-0,991 + 89-0,966 + 98-0,924 + 101-0,866 -f 95 - 0,793 + 83 - 0,707 + -Ь 65-0,609 + 47-0,5 + 31 -0,383 + 19-0,259 + 8-0,131 )=78,7 мм; 4

A'l = — (11-0,991 + 21-0,966 + 30-0,924 + 39-0,866 + 46 х

X 0,793 + 50-0,707 + 51-0,609 + 47-0,5 + 46-0,383 + 48-0,259 + 54-0,131 -1-+ 63 О - 7,7-0,131 - 890^59 - 980,383 - 1010,5 - 95-0,609 - 830,707 -

- 65-0,793 - 47-0,866 - 31-0,924 - 19-0,966 - 8-0,991) = - 10,8 мм. ■ ^ Амплитуда 1-й гармоники (84)

=j/78,7^ + 10,8^ =79,5 мм ' • '

и фаза (85)

- 10,8

*£«!=—:;=-= -0.137, или а, = -7''50'.

78,7

Знак угла определяется знаками вычисленных значений А' и А". Так как в данном случае значение А', пропорциональное cosa,, положительно, а значение А", пропорциональное sincxi, отрицательно, то угол tti лежит в IV четверти тригонометрического круга и, следовательно, может быть представлен как положительный угол щ = 360° — -7°50' или как отрицательный - а, = -7°50' (st -8°).

Масштаб по горизонтальной оси для 1-й гармоники в нашем случае находится из того, что 180° соответствует 120 мм, и, следовательно, сдвиг 1-й гармоники относительно исследуемой кривой будет равен:

-8°-120

— а. =-= —5,3 мм.

' 180°

На графике рис. 32 положительные углы в принятом масштабе откладываются влево (графически прибавляются) от точки начала иссле-; дуемой кривой (точка 0), для которой ордината равна нулю (и далее принимает положительные значения), а отрицательные углы откладываются вправо (вычитаются).

Найдем амплитуду и фазу 3-й гармоники:

а; = -^(11-0,383 -!- 21-0,707 -I- 30-0,924 + 39-1,0 + 46-0,924 50 х

х 0,707 + 51-0,383 + 47-0 - 46-0,383 - 48-0,707 - 54-0,924 - 63-1 - 77 х X 0^124 - 89-0,707 - 98-0,383 + 101О + 95-0,383 + 83-0,707 + 65-0.924 + •f 47-1 -(- 31 - 0,924 + 19 - 0,707 -1- 8 - 0,383) = 7,86 мм; ..

=1/7,86^ + 17,9=^ = 19,6 мм;

17,9 ' -

tg Из = VST = 2.3, или аз = 66°30'.

Так как А' и А" положительны, то угол a.j лежит в I четверти и положителен.

Для 3-й гармоники в масштабе построения сдвиг будет равен: 66,5120

Найдш амплитуду и фазу 5-й гармоники:

а; = ^(11-0,609 -I- 21-0,966 + 30-0,924 + 390,5 - 460,131 -

- 50-0,707 - 51-0,991 -47 0,866 - 46-0,383 + 48 0,259 + 54-0,793 + 63-1 + + 77-0,793 + 890,259 - 98 0,383 - 101-0,866 - 95-0,991 -83-0,707 - 65 х X 0,131 -f 47-0,5 + 31-0,924 + 19-0,966 + 8-0,609) = -7,18 мм; 4

48"

X 0,991 - 50 0,707 - 51-0,131 -I- 47-0,5 + 460,924 + 48-0,966 + 54-0,609 -I-+ 63-0 -

-77 0,609 + 890,966 - 98-0,924- 101-0,5 + 95-0,131 + 83-0,707-(- 65 х хО,991-|-47 0,866-1-31 0,383-190,259 - 80,793)= -5,91 мм.

Амплитуда 5-й гармоники

А'^= — (11-0,793 + 21 0Д59 - 30-0,383 - 39-0,866 - 46 х

/45=1/7,18^-1-5,91^=9,3 мм; ■ , Г

— 591

Так как А^к Л'^ отрицательны, то угол лежнг в III четверти и, следовательно, может быть представлен положительным углом а; = = 180°-(-39°30'= 219^30' или отрицательным - as =-(180"-- 39°30') = - Ш'-ЗС.

Л ^ = — (11-0,924 + 21-а707 + 30-0,383 + 39-0 - 460,383 -

- 50 0,707 - 51-0,924 - 47-1 - 46-0,924 - 48 0,707 - 54-0,383 - 630 + + 77-0,383 + 89-0,707 + 98 0,924 + 101-1 + 95 0,924 + 83 0,707 + 65 х X 0,383 + 470 - 31-0,383 - 190,707 - 8-0,924) = 17,9 мм.

Амплитуда 3-й гармоники

^ Для 5-й гармоники в масштабе построения сдвиг будет равен: f- -140,5°-120

'"^^^ 5-180°

у Найдем амплитуду и фазу 7-йгармоники:

4 ■ •

A^ = — (11-0,793 -I- 21-0,966 + 30-0,383 - 39-0,5 -

- 46-0,991 - 50-0,7074- 51-0,131 + 47-0,866 + 46-0,924 + 48 0,259 - 54 х - X 0,609 - 63-1 - 77-0,609 + 89-0,259 + 98-0^»24 + 101-0,866 + 95-0,131 -

- 83-0,707 - 65-0,991 - 47-0,5 -1- 31-0,383 + 190,966 -I- 80,793) = 0;

A'^ = ^ (11-0,609 - 21-0Д59 - 30-0^»24 - 39-0,866 - 46 х

X 0,131 + 50-0,707 + 51-0,991 -I- 47-0,5 - 46-0,383 - 48-0,966 - 54-0,793 + + 630 + 77-0,793 + 89-0,966 + 98-0,383 - 101-0,5 - 95-0,991 - 83-0,707 + + 65-0,131 + 47-0,866 + 31-0,924 -1- 19-0,259 - 8-0,609) = О,

следовательно, амплитуда 7-й гармоники А^ = О, т. е. в исследуемой кривой 7-я гармоника отсутствует, поэтому на рис. 32 она не изображена.

По полученным значениям амплитуд гармоник и их фазовых сдвигов относительно исследуемой кривой напряжения построены графики 1, 3 и 5-й гармоник (см. рис. 32).

Исследуемое несинусоидальное напряжение на основании проведенного анализа может быть представлено следующим синусоидальным рядом:

и = Ы1-(-Ыз-(-Ы5 = 79,5 sin(cot-8°)-(-

+ 19,6 sin (Зсог -I- 66°30') -1- 9,3 sin (5cot - 140°30').

Для выражения амплитуд гармоник в вольтах необходимо определить масштаб наших построений, что выполняется следующим образом. При осциллографировании исследуемое несинусоядальное напряжение было измерено электродинамическим вольтметром и оказалось равным и = 61 В (действующее или среднеквадратичное значение).

В правом крайнем столбце табл. 3 приведены квадраты значений ординат исследуемой кривой, откуда среднеквадратичное значение ординат

—

/ 1!1.1/^1^ = 57,9мм. ■

ср.к„ , 24

24

Тогда масштаб определится исходя из того, что 1 мм соответствует = 1,055 В.

57,9

Амплитудные и действующие (среднеквадратичные) значения всех составляющих гармоник в вольтах сведены в табл. 4. Проверим точность наших расчетов:

U = \/Ul + Ul + Ul = 1/59,42 _^ 14 52 _^ g 932 ^ g

Результаты измерения (Lf = 61 В) и вычислений (61,5 В) практически одинаковы, что подтверждает правильность выполненного анализа.

Определим теперь коэффициенты, характеризующие отклонение исследуемой кривой напряжения от синусоиды (ср. с примером § 12а).

Коэффициент амплитуды (35)

107

= 1,76

и 61

(для синусоиды kg = 1,41).

Для определения коэффищ1ента формы надо знать среднее значение за полупериод, которое" находится по данным второго столбца справа в табл. 3:

1219

24 24

- = 50,8 мм или f/cp = 50,8 х 1,055 = 53,5 В.

Тогда коэффищ1ент формы (35) и 61

1/с

= 1,14.

ср 53,5 Для синусоиды кф=1,11.

Коэффищ1ент среднего значения по модулю (10), (35)

и.

ср

53,5

= 0,5.

Для синусоиды среднее значение по модулю равно среднему значению за полупериод

I

кср,мод —

- = 0,637.

1/21,11

Составляющие гармоники исследуемого напряжения

Таблица 4

Действующие значения высших гармонических (30)

к/ =-- = ^ = 0.271 (27,1%)-

ЪЩ= Vul +и1 + Щ = ]/l4,S^ + 6,93^ + О = 16,1 В..

у=3

Козффищ1ент гармоник кривой (35) l/t/j + Ul + U^ _ 16,1 Ui " 59,4

Согласно ГОСТ 13109-67 на качество электроэнергии допускается

т = з

т. е. кф ^ 0,05 (5%). Следовательно, исследуемая кривая напряжения по содержанию гармоник не соответствует ГОСТ.

ПРИЛОЖЕНИЯ Обозначение системы прибора на шкале

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Наименование

Условное обозначение

Магнитоэлектрический прибор с подвижной рамкой

Магнитоэлектрический логометр с подвижными рамками

Магнитоэлектрический прибор с подвижным магнитом

Магнитоэлектрический логометр с подвижным магнитом

Электромагнитный прибор

Электромагнитный логометр

Электромагнитный поляризованный прибор

Электродинамический прибор

Электродинамический логометр

О Q

Условное обозначение

Ферродинамический прибор

л

Ферродинамический логометр

Индукционный прибор

Индукционный логометр

Магнитоиндукционный прибор

Электростатический прибор

Вибрационный прибор (язычковый)

Тепловой прибор (с нагреваемой проволокой) Биметаллический прибор

S

в

0 ё

т

V

Дополнительные обозначения по виду преобразования Т^мопреобразователь изолированный

Термопреобразователь неизолированный Выпрямитель полупроводниковый___

V V

Продолжение при.юж. I

Условное обозначение

Выпрямитель электромеханический

Электронный преобразователь

Преобразователь вибрационно-импульсный

Компенсационный преобразователь

Примеры обозначений приборов с преобразователем

Термоэлектрический прибор (с изолированным преобразователем и мапштоэлектрическим измерителем)

Выпрямительный прибор (с полупроводниковым выпрямителем и измерителем с подвижным магнитом)

Электронный прибор с электростатическим измерителем

Вибрационно-импульсный прибор с магнитоэлектрическим измерителем

Обозначения защиты от внешних магнитных полей

Защита от внешних магнитных полей (I категория защищенности)

Защита от внешних электрических полей (I категория защищенносги)

Г'

(II

9

т

П

□

Продолжение прилож. 1

Условное обозначение

Значение частоты, до которой напряженность испытательного магнитного поля равна 400 А (например= 600 Гц)

Примеры обозначения-приборов с защитой от внешних полей

Магнитоэлектрический прибор I категории защищенности от магнитных влияний

Электростатический прибор I категории защищенности от электрических полей

600 Гц

п

ГТ1

I Ti I__L_j

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Обозначение частотной применимости, проставляемое на шкале прибора

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Безруких П. П., Покровский С. Н. Проверка и испытание вентильных систем возбуждения синхронных машин. М.: Энергия, 1975.

2. Каминский Е. А. Звезда, треугольник, зигзаг. М.: Энергия, 1977.

3. Минин Г. П. Измерение электрических величин. М.: Энергия, 1971.

4. IVIhhhh г. п. Измерение электроэнергии. М.: Энергия, 1974.

5. Мирскнй Г. Я. Радиоэлектронные измерения. М.: Энергия, 1975.

6. Пнотровскнй Л. М. Электрические машины. Л.: Энергия, 1974.

7. Попов В. С. Теоретическая электротехника. М.: Энергия, 1975.

8. Фугенфнров М. И. Газоразрядные лампы. М.: Энергия, 1975.